Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12


Giải bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\displaystyle (C)\) của hàm số  \(\displaystyle f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\)

Phương pháp giải:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã học.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số y = \(\displaystyle f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\)  \(\displaystyle (C)\)

Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(\displaystyle y’ = 2x^3- 6x  = 2x(x^2– 3)\)

\(\displaystyle \Rightarrow y’ = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right..\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\displaystyle (-\infty;-\sqrt3)\) và \(\displaystyle (0;\sqrt3)\), đồng biến trên khoảng \(\displaystyle (-\sqrt 3;0)\) và \(\displaystyle (\sqrt3;+\infty)\).

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(\displaystyle x=0\); \(\displaystyle y_{CĐ}={3\over 2}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(\displaystyle x=-\sqrt3\) và \(\displaystyle x=\sqrt3\); \(\displaystyle y_{CT}=y(\pm\sqrt3)=-3\)

- Giới hạn:

   \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  + \infty \)

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục \(\displaystyle Oy\) làm trục đối xứng.

LG b

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị \(\displaystyle (C)\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(\displaystyle f’’(x) = 0.\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(\displaystyle f''(x)=0\) để tìm \(\displaystyle x_0.\) Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\displaystyle (C)\) theo công thức: \(\displaystyle y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle y’’ = 6x^2– 6\)

\(\displaystyle \Rightarrow y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6 = 0 \) \(⇔ x^2 -1 =0 ⇔ x = ± 1.\)

Có \(\displaystyle y’(-1) = 4; \, \,  y’(1) = -4; \, \,  y(± 1) = -1\)

Tiếp tuyến của \(\displaystyle (C)\) tại điểm \(\displaystyle (-1, -1)\) là : \(\displaystyle y = 4(x+1) – 1= 4x+3.\)

Tiếp tuyến của \(\displaystyle (C)\) tại điểm \(\displaystyle (1, -1)\) là: \(\displaystyle y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3.\)

LG c

c) Biện luận theo tham số \(\displaystyle m\) số nghiệm của phương trình: \(\displaystyle x^4- 6x^2+ 3 = m.\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng: \(\displaystyle {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = \frac{m}{2}. \) Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a) để biện luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle {x^4} - 6{x^2} + 3 = m \) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2}\) (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của \(\displaystyle (C)\) và đường thẳng (d) : \(\displaystyle y = {m \over 2}\)

Từ đồ thị ta thấy:

\(\displaystyle \frac{m}{2}<-3\Leftrightarrow m < -6\) thì d và (C) không có điểm chung nên (1) vô nghiệm.

\(\displaystyle \frac{m}{2}=-3 \Leftrightarrow m = -6\) thì d và (C) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.

\(\displaystyle -3 < \frac{m}{2}<\frac{3}{2} \Leftrightarrow-6 < m < 3\) thì d và (C) có 4 điểm chung nên (1) có 4 nghiệm.

\(\displaystyle \frac{m}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = 3\) thì d và (C) có 3 điểm chung nên ( 1) có 3 nghiệm.

\(\displaystyle \frac{m}{2}> \frac{3}{2} \Leftrightarrow m > 3\) thì d và (C) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.

Vậy:

+) m < - 6 thì phương trình vô nghiệm.

+) m = - 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.

+) m = 3 thì PT có 3 nghiệm.

+) – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 8 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.


Gửi bài