Bài 12 trang 47 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

Giải bài 12 trang 47 SGK Giải tích 12. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0

Đề bài

Cho hàm số: \(\displaystyle f(x) = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6\)

a) Giải phương trình \(\displaystyle f’(sin x) = 0\)

b) Giải phương trình \(\displaystyle f’’(cos x) = 0\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(\displaystyle f’’(x) = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Tính đạo hàm \(f'(x)\) và \(f''(x).\)

a) Thay \(x=sin x\) vào phương trình \(f'(x) =0\) để giải phương trình lượng giác tìm nghiệm \(x.\)

b) Thay \(x=cos x\) vào phương trình \(f''(x) =0\) để giải phương trình lượng giác tìm nghiệm \(x.\)

c) Giải phương trình \(f''(x)=0\) để tìm nghiệm \(x_0.\)

+) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo công thức: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + y\left( {{x_0}} \right).\)

Lời giải chi tiết

\(\displaystyle f(x) = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6\)

\(\displaystyle \Rightarrow f’(x) = x^2– x – 4\)

\(\displaystyle \Rightarrow  f’’(x) = 2x – 1\)

a) Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& f'(s{\rm{inx}}) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}} - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = }}{{1 \pm \sqrt {17} } \over 2}(1) \cr
& Do{{1 - \sqrt {17} } \over 2} < - 1,{{1 + \sqrt {17} } \over 2} > 1 \cr} \)

Suy ra (1) vô nghiệm.

b) Ta có: 

\(\displaystyle \eqalign{
& f''(cosx) = 0 \Leftrightarrow 2cosx - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in\mathbb Z \cr} \)

c) Nghiệm của phương trình \(\displaystyle f’’(x) = 0\) là \(\displaystyle x = {1 \over 2}\)

Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& f'({1 \over 2}) = {1 \over 4} - {1 \over 2} - 4 = {{ - 17} \over 4} \cr
& \Rightarrow  f({1 \over 2}) = {1 \over 3}.{1 \over 8} - {1 \over 2}.{1 \over 4} - 4.{1 \over 2} + 6 = {{47} \over {12}} \cr} \)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:

\(\displaystyle y = {{ - 17} \over 4}(x - {1 \over 2}) + {{47} \over {12}} \Leftrightarrow y =  - {{17} \over 4}x + {{145} \over {24}}\).

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.