Bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12


Giải bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số: \(y = x^3+ 3x^2+ 1.\)

Phương pháp giải:

Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã học.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle y = x^3+ 3x^2+ 1\)

Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(\displaystyle y’= 3x^2+ 6x = 3x(x+ 2)\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 2
\end{array} \right..
\end{array}\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\displaystyle (-\infty;-2)\) và \(\displaystyle (0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \(\displaystyle (-2;0)\)

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(\displaystyle x=-2\); \(\displaystyle y_{CĐ}=5\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(\displaystyle x=0\); \(\displaystyle y_{CT}=1\).

- Giới hạn: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty\), \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao \(\displaystyle Oy\) tại \(\displaystyle (0;1)\)

Đồ thị hàm số nhận \(\displaystyle I(-1;3)\) làm tâm đối xứng.

LG b

b) Dựa vào đồ thị \((C)\), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo \(m\): \({x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}.\)

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f(x) = \frac{m}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và đường thẳng \(y=\frac{m}{2}.\) Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(\displaystyle {x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\) chính là số giao điểm của \(\displaystyle (C)\) và đường thẳng \(\displaystyle (d)\): \(\displaystyle y = {m \over 2}\) 

Từ đồ thị ta thấy:

- Với \(\displaystyle {m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

- Với \(\displaystyle {m \over 2} = 1  ⇔ m = 2\): (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \(\displaystyle 1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2<m<10\): (d) cắt (C) tại 3 điểm, phương trình có 3 nghiệm.

- Với  \(\displaystyle {m \over 2} = 5 \Leftrightarrow m = 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \(\displaystyle {m \over 2} > 5 \Leftrightarrow m > 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.

Vậy, nếu \(m < 2\) hoặc \(m > 10\) thì phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất.

+ Nếu \(m = 2\) hoặc \(m = 10\) thì phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt.

+ Nếu \(2 < m < 10\) thì phương trình có \(3\) nghiệm phân biệt.

LG c

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị \((C).\)

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Viết pt đường thẳng AB đi qua 2 điểm A, B ta làm như sau:

+ Tìm tọa độ \(\overrightarrow {AB} \) suy ra tọa độ VTPT của đt.

+ Viết pt đường thẳng theo công thức \[a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\]

Lời giải chi tiết:

Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\displaystyle A(-2, 5)\), điểm cực tiểu là \(\displaystyle B(0, 1)\). 

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;2} \right)\) là VTPT của AB.

AB đi qua A(-2;5) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;2} \right)\) làm VTPT nên có pt:

\(4\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 8 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài