Bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4 trên 8 phiếu

Giải bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số: \(y = x^3+ 3x^2+ 1.\)

b) Dựa vào đồ thị \((C)\), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo \(m\): \({x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}.\)

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị \((C).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã học.

b) Số nghiệm của phương trình \(f(x) = \frac{m}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và đường thẳng \(y=\frac{m}{2}.\) Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm.

c) Xác định tọa độ các điểm cực trị của hàm số. Sau đó sử dụng công thức sau để lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A(x_A; \, y_A)\) và \(B(x_B; \, y_B):\)

\[\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}}.\]

Lời giải chi tiết

a) \(\displaystyle y = x^3+ 3x^2+ 1\)

Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(\displaystyle y’= 3x^2+ 6x = 3x(x+ 2)\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 2
\end{array} \right..
\end{array}\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\displaystyle (-\infty;-2)\) và \(\displaystyle (0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \(\displaystyle (-2;0)\)

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(\displaystyle x=-2\); \(\displaystyle y_{CĐ}=5\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(\displaystyle x=0\); \(\displaystyle y_{CT}=1\).

- Giới hạn: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty\), \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao \(\displaystyle Oy\) tại \(\displaystyle (0;1)\)

Đồ thị hàm số nhận \(\displaystyle I(-1;3)\) làm tâm đối xứng.

b) Số nghiệm của phương trình \(\displaystyle {x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\) chính là số giao điểm của \(\displaystyle (C)\) và đường thẳng \(\displaystyle (d)\): \(\displaystyle y = {m \over 2}\) 

Từ đồ thị ta thấy:

- Với \(\displaystyle {m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

- Với \(\displaystyle {m \over 2} = 1  ⇔ m = 2\): (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \(\displaystyle 1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2<m<10\): (d) cắt (C) tại 3 điểm, phương trình có 3 nghiệm.

- Với  \(\displaystyle {m \over 2} = 5 \Leftrightarrow m = 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \(\displaystyle {m \over 2} > 5 \Leftrightarrow m > 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.

Vậy, nếu \(m < 2\) hoặc \(m > 10\) thì phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất.

+ Nếu \(m = 2\) hoặc \(m = 10\) thì phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt.

+ Nếu \(2 < m < 10\) thì phương trình có \(3\) nghiệm phân biệt.

c) Ta thấy hàm số có điểm cực đại là \(\displaystyle (-2, 5)\), điểm cực tiểu  là \(\displaystyle (0, 1)\). 

Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: \(\displaystyle {{y - 1} \over 4} = {x \over { - 2}} \Leftrightarrow y =  - 2x + 1.\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.