Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12


Giải bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12. Biện luận theo m số cực trị của hàm số

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1\) ( \(m\) là tham số) có đồ thị \((C_m).\)

LG a

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

Phương pháp giải:

Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: \(y'=0.\) Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình \(y'=0.\)

Lời giải chi tiết:

\(y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1\) \((C_m).\)

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

Ta có: \(y' = -4x^3+ 4mx = -4x (x^2- m)\)

\(\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow -4x(x^2-m)=0\) \( \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right..\)

+) Với \(m ≤ 0\) thì \(y’\) có một nghiệm \(x = 0\) và đổi dấu \(+\) sang \(–\) khi qua nghiệm này.

Do đó hàm số có một điểm cực đại là \(x = 0\)

+) Với \(m>0\) phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.

Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là \(x = ± \sqrt m\) và có một điểm cực tiểu là \(x = 0\).

LG b

b) Với giá trị nào của m thì \((C_m)\) cắt trục hoành?

Phương pháp giải:

\((C_m)\) cắt trục hoành \(\Leftrightarrow \) phương trình \(y=f(x)=0\) có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \((C_m)\) và trục hoành là: 

\(\begin{array}{l}
- {x^4} + 2m{x^2} - 2m + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^4} - 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2m + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = 0\\
{x^2} - 2m + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
{x^2} = 2m - 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm \(x = ± 1\) với mọi m nên \((C_m)\) luôn cắt trục hoành.

Cách khác:

– Xét m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.

Ta có bảng biến thiên :

(Cm) cắt trục hoành ⇔ 1 – 2m ≥ 0

⇔ m ≤ \(\frac{1}{2}\)

Kết hợp m ≤ 0 ta được m ≤ 0 (1)

- Xét m > 0, phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm 0 ; \( \pm \sqrt m \)

Ta có bảng biến thiên :

(Cm) cắt trục hoành ⇔ (m – 1)2 ≥ 0\( \Leftrightarrow m \ne 1\)

Kết hợp với m > 0 ta được m > 0 (2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra (Cm) cắt trục hoành với mọi m ∈ R.

LG c

c) Xác định m để \((C_m)\) có cực đại, cực tiểu.

Phương pháp giải:

Hàm số có cực đại và cực tiểu  \(\Leftrightarrow \) phương trình \(y'=f'(x)=0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với \(m > 0\) thì đồ thị \((C_m)\) có cực đại và cực tiểu.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 10 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.


Gửi bài