Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11


a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương ứng thành A', B',C'

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Gọi \(G\) và \(H\) tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm \(A',B',C'\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA, AB\).

a) Tìm phép vị tự \(F\) biến \(A, B, C\) tương ứng thành \(A',B',C'\)

b) Chứng minh rằng \(O, G, H\) thẳng hàng.

c) Tìm ảnh của \(O\) qua phép vị tự \(F\)

d) Gọi \(A”, B”, C”\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AH, BH, CH\); \(A_1, B_1, C_1\) theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia \(AH, BH, CH\) với đường tròn \((O)\); \(A_1',B_1',C_1'\) tương ứng là chân các đường cao đi qua \(A, B, C\). Tìm ảnh của \(A, B, C\), \(A_1, B_1, C_1\) qua phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \({1 \over 2}\)

e) Chứng minh chín điểm \(A',B',C'\),\(A”, B”, C”\),\(A_1',B_1',C_1'\)cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác \(ABC\))

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dựa vào định nghĩa phép vị tự và tính chất trọng tâm của tam giác.

b) Chứng minh hai vectơ \(\overrightarrow {GO} ;\,\,\overrightarrow {GH} \) cùng phương.

c) Dựa vào định nghĩa phép vị tự.

d) Sử dụng tính chất của phép vị tự: Ảnh của đường tròn qua phép vị tự là 1 đường tròn.

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GA'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ; \cr
& \overrightarrow {GB'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ; \cr
& \overrightarrow {GC'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} \cr}\).

Vậy phép vị tự tâm \(G\) tỉ số \(k =  - {1 \over 2}\) biến \(A, B, C\) thành \(A’, B’, C’\).

b) \(A’\) là trung điểm của dây \(BC\) nên \(OA’ ⊥ BC\)

Ta lại có \(BC // C’B’ \Rightarrow OA’ ⊥ B’C’ \). Tương tự \(B'O \bot A'C'\)

\(⇒\) Trong tam giác \(A’B’C’\), \(A'O \bot B'C',B'O \bot A'C'\) nên \(O\) là trực tâm của \(∆A’B’C’\).

\(H\) là trực tâm của \(∆ABC\) và \(O\) là trực tâm của \(∆A’B’C’\) nên \(O\) là ảnh của \(H\) trong phép vị tự tâm \(G\), tỉ số \(k =  - {1 \over 2} \Rightarrow \overrightarrow {GO}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \) 

\(⇒\) Ba điểm \(O, G, H\) thẳng hàng.

c) Gọi \({V_{\left( {G; - {1 \over 2}} \right)}(O)=O'}\) ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GO'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr
& \overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH}  \Rightarrow \overrightarrow {OG} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \cr
& \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {GH} - \overrightarrow {GO} } \right) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {OH} \cr} \) 

Suy ra \(O’\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OH\).

d) Gọi A'', B'', C'' lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {HA''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HA} \cr
& \overrightarrow {HB''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HB} \cr
& \overrightarrow {HC''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HC} \cr} \) 

Vậy \(A”, B”, C”\) là ảnh của các điểm \(A, B, C\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\).

Ta dễ dàng chứng minh được \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(H{A_1},H{B_1},H{C_1}\) nên:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {H{A_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_1}} \cr
& \overrightarrow {H{B_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_1}} \cr
& \overrightarrow {H{C_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_1}} \cr} \) 

Như vậy \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A_1, B_1, C_1\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\)

e) Gọi \(A_2, B_2, C_2\) theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm \(A, B, C\) qua tâm \(O\) của đường tròn. Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác \(BHCA_2\) là hình bình hành, do đó \(H\) và \(A_2\) đối xứng qua \(A’\), ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {HA'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_2}} \cr
& \overrightarrow {HB'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_2}} \cr
& \overrightarrow {HC'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_2}} \cr} \)

Như vậy, các điểm \(A’, B’, C’\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A_2, B_2, C_2\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\).

Từ đó ta có: 

Chín điểm \(A’, B’,C’,A”, B”,C”\), \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) trong phép tự vị \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) mà chín điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) nằm trên đường tròn \((O)\) nên chín điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn \((O)\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.1 trên 10 phiếu
  • Bài 3 trang 126 SGK Hình học 11

    Giải bài 3 trang 126 SGK Hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn.

  • Bài 4 trang 126 SGK Hình học 11

    Giải bài 4 trang 126 SGK Hình học 11. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có E, F, M và N lần lượt là trung điểm của AC, BD, AC’ và BD’. Chứng minh MN = EF.

  • Bài 5 trang 126 SGK Hình học 11

    Giải bài 5 trang 126 SGK Hình học 11. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và Đ'.

  • Bài 6 trang 126 SGK Hình học 11

    Giải bài 6 trang 126 SGK Hình học 11. a) Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau BD' và B'C.

  • Bài 7 trang 126 SGK Hình học 11

    Giải bài 7 trang 126 SGK Hình học 11. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, có AD = 2a, AB = BC = a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy một điểm S.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí