Bài 1.67 trang 23 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.67 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(y = {{{x^2} - 3x + 1} \over x}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x} = x - 3 + \frac{1}{x}\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  - \infty \) nên TCĐ: \(x = 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{x} = 0\) nên TCX: \(y = x - 3\).

\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{x}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x =  \pm 1\end{array}\)

BBT:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1\), \({y_{CD}} =  - 5\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1,{y_{CT}} =  - 1\).

+) Đồ thị:

LG b

Với các giá trị nào của m, đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m, tại hai điểm phân biệt A và B.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho là nghiệm của phương trình \({{{x^2} - 3x + 1} \over x} = m\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 = 0\)           (1)

Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Dễ thấy \({0^2} - \left( {m + 3} \right).0 + 1 = 1 \ne 0\) nên 0 không là nghiệm của phương trình.

(1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

∆ = \({\left( {m + 3} \right)^2} - 4 > 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0\)

\( \Leftrightarrow m <  - 5\) hoặc \(m >  - 1\)

LG c

Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.

Lời giải chi tiết:

Với \( m <  - 5\) hoặc \(m >  - 1\) thì đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B.

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là

\({x_M} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{m + 3} \over 2}\) và \({y_M} = m.\)    (2)

Từ đó suy ra \({x_M} = {{{y_{_M}} + 3} \over 2}\) hay \({y_M} = 2{x_M} - 3.\)

Vậy điểm M nằm trên đường thẳng \(y = 2x - 3.\)

Từ (2) suy ra \(m = 2{x_M} - 3.\)

Do \( m <  - 5\) hoặc \(m >  - 1\) nên ta có

\(\left[ \matrix{2{x_M} - 3 < 5 \hfill \cr 2{x_M} - 3 > 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_M} <  - 1 \hfill \cr {x_M} > 1. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m lấy giá trị trong tập hợp \(\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup ( - 1; + \infty )\) là phần của đường thẳng \(y = 2x - 3\) ứng với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup (  1; + \infty )\)

Đó là hai nửa đường thẳng.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài