Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 8: Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Bài 1.62 trang 22 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.62 trang 22 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hai hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai hàm số: \(f(x) =  - {1 \over 4}{x^2} + x + {1 \over 4}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)

LG a

Chứng minh rằng đồ thị (P) của hàm số f và đồ thị (C) của hàm số g tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành độ x = 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - \frac{1}{2}x + 1\\g'\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array}\)

(P) và (C ) tiếp xúc nhau \( \Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm

Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ - \frac{1}{2}x + 1 = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào hệ trên ta thấy thỏa mãn.

Do đó hệ có nghiệm \(x = 1\).

Vậy (P) và (C ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến chung (D) của (P) và (C) tại điểm A.

Lời giải chi tiết:

Tại \(A\left( {1;1} \right)\) có: \(f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\) nên phương trình tiếp tuyến là:

\(y = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).

LG c

Chứng minh rằng (P) nằm phía dưới đường thẳng (D) và (C) nằm phía trên (D).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(h(x) = {x \over 2} + {1 \over 2}\) ta có

\(g(x) - h(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1}  - {{x + 1} \over 2}\)

- Với \(x + 1 \le 0\) hay \(x \le  - 1\) , ta có \(g(x) - h(x) > 0\)

- Với \(x + 1 > 0\) hay \(x >  - 1\) ta có:

\(g(x) - h(x) > 0\)

\(\eqalign{&  \Leftrightarrow g(x) > h(x)  \cr&  \Leftrightarrow {g^2}(x) > {h^2}(x)  \cr&  \Leftrightarrow 4({x^2} - x + 1) > {\left( {x + 1} \right)^2}  \cr&  \Leftrightarrow 3{\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \cr} \)

Do đó, \(g(x) - h(x) \ge 0\) với mọi \(x \in R\) và chỉ có đẳng thức khi x = 1 hay (C) luôn nằm phía trên (D).

Lại có:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) - h\left( x \right)\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\\
= - \frac{1}{4}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\
= - \frac{1}{4}{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x
\end{array}\)

Nên (P) luôn nằm phía dưới (D).

Vậy ta có đpcm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 4 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store