Bài 1.62 trang 22 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.62 trang 22 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hai hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai hàm số: \(f(x) =  - {1 \over 4}{x^2} + x + {1 \over 4}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)

LG a

Chứng minh rằng đồ thị (P) của hàm số f và đồ thị (C) của hàm số g tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành độ x = 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - \frac{1}{2}x + 1\\g'\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array}\)

(P) và (C ) tiếp xúc nhau \( \Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm

Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ - \frac{1}{2}x + 1 = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào hệ trên ta thấy thỏa mãn.

Do đó hệ có nghiệm \(x = 1\).

Vậy (P) và (C ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến chung (D) của (P) và (C) tại điểm A.

Lời giải chi tiết:

Tại \(A\left( {1;1} \right)\) có: \(f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\) nên phương trình tiếp tuyến là:

\(y = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).

LG c

Chứng minh rằng (P) nằm phía dưới đường thẳng (D) và (C) nằm phía trên (D).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(h(x) = {x \over 2} + {1 \over 2}\) ta có

\(g(x) - h(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1}  - {{x + 1} \over 2}\)

- Với \(x + 1 \le 0\) hay \(x \le  - 1\) , ta có \(g(x) - h(x) > 0\)

- Với \(x + 1 > 0\) hay \(x >  - 1\) ta có:

\(g(x) - h(x) > 0\)

\(\eqalign{&  \Leftrightarrow g(x) > h(x)  \cr&  \Leftrightarrow {g^2}(x) > {h^2}(x)  \cr&  \Leftrightarrow 4({x^2} - x + 1) > {\left( {x + 1} \right)^2}  \cr&  \Leftrightarrow 3{\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \cr} \)

Do đó, \(g(x) - h(x) \ge 0\) với mọi \(x \in R\) và chỉ có đẳng thức khi x = 1 hay (C) luôn nằm phía trên (D).

Lại có:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) - h\left( x \right)\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\\
= - \frac{1}{4}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\
= - \frac{1}{4}{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x
\end{array}\)

Nên (P) luôn nằm phía dưới (D).

Vậy ta có đpcm.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài