Bài 1.45 trang 19 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.45 trang 19 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 12x + 9\\y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;3} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 4\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3,{y_{CT}} = 0\).

+) Đồ thị:

\(\begin{array}{l}y'' = 6x - 12\\y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = 2\end{array}\)

Điểm uốn \(I\left( {2;2} \right)\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;0} \right)\).

Điểm cực đại \(\left( {1;4} \right)\) và điểm cực tiểu \(\left( {3;0} \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 6{x^2} + 9x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(\left( {0;0} \right)\) và tiếp xúc trục hoành tại điểm \(\left( {3;0} \right)\).

LG b

Chứng minh rằng điểm uốn của đường cong (C) là tâm đối xứng của nó

Lời giải chi tiết:

Công thức chuyển hệ tọa độ theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + 2\\y = Y + 2\end{array} \right.\)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ IXY là:

\(\begin{array}{l}Y + 2 = {\left( {X + 2} \right)^3} - 6{\left( {X + 2} \right)^2} + 9\left( {X + 2} \right)\\ \Leftrightarrow Y + 2 = {X^3} + 6{X^2} + 12X + 8\\ - 6{X^2} - 24X - 24 + 9X + 18\\ \Leftrightarrow Y + 2 = {X^3} - 3X + 2\\ \Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X\end{array}\)

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận \(I\) làm tâm đối xứng.

LG c

Với các giá trị nào của m, đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ?

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị hàm số.

Do đó để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y=m (song song hoặc trùng Ox và đi qua điểm (0;m)) phải cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.

Quan sát đồ thì ta thấy 0 < m < 4 thỏa mãn.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.