Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 2. Tích vô hướng của hai vec tơ

Bài 44 trang 45 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 44 trang 45 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng: Trong tam giác, trung điểm các cạnh, chân các đường cao cùng thuộc một đường tròn \((\omega )\) và đường tròn  \((\omega )\) cũng đi qua trung điểm của các đoạn thẳng nối mỗi đỉnh với trực tâm tam giác (đường tròn chín điểm  hay đường tròn Ơ-le của tam giác).

Lời giải chi tiết

 

Giả sử tam giác \(ABC\) có \(AA' \bot BC\) và \(M, N\) là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\)

Vẽ đường tròn \((\omega )\) đi qua \(A’, M, N\) nếu \(A’\) khác \(M\), hoặc \((\omega )\) đi qua \(N\) và tiếp xúc với \(BC\) tại \(M\) nếu \(A’\) trùng với \(M\). Lấy giao điểm thứ hai \(B’\) của \((\omega )\) và \(AC.\)

Khi đó  \(\overrightarrow {CA'} .\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {CB'} \) hay \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA'} .\overrightarrow {CB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB'} \), suy ra \(\overrightarrow {CA'} .\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CB'} .\overrightarrow {CA} \).

Vậy bốn điểm \(B, A’, B’, A\) cùng thuộc một đường tròn. Trong đường tròn này \(\widehat {AB'B} = \widehat {AA'B} = {90^0}\), vậy \((\omega )\) đi qua chân đường cao \(B’\) hạ từ đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC.\)

Đặt \(K\) là gao điểm thứ hai của \((\omega )\) với \(AA’,\) ta có \(\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AN} \).

Ta lại có \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} \)  (do \(HB’CA’\) nội tiếp được).

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {AA'}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AA'} \). Do đó \(\overrightarrow {AK}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH} \). Vậy \((\omega )\) đi qua trung điểm \(K\) của \(AH.\)

Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB,\) ta có \(KP// BB’\) và \(MP// AC,\) suy ra \(\widehat {KPM} = {90^0}\).

Tương tự cũng có \(\widehat {KNM} = {90^0}\) nên \(P\) nằm trên đường tròn \((\omega )\) đi qua \(M, N, K.\)

Lí luận tương tự như trên ta được chân đường cao \(C’\) hạ từ đỉnh \(C\) và trung điểm các đoạn \(HB, HC\) đều thuộc đường tròn \((\omega )\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store