Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 2. Tích vô hướng của hai vec tơ

Bài 21 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 21 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=c, BC=a, CA=b.\) Đặt

\(\overrightarrow u  = (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} )\overrightarrow {CA}  + (\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} )\overrightarrow {AB}\)\(  + (\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} )\overrightarrow {BC}  .\)

Chứng minh rằng

LG a

\(\overrightarrow u  =  - abc\left( {\cos B\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} + \cos C\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \cos A\dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}} \right);\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = ca.\cos ({180^0} - B).\overrightarrow {CA}  + ab.\cos ({180^0} - C).\overrightarrow {AB}  + bc.\cos ({180^0} - A).\overrightarrow {BC} \\     =  - ca.\cos B.\overrightarrow {CA}  - ab.\cos C.\overrightarrow {AB}  - bc.\cos A.\overrightarrow {BC} \\     =  - abc\left( {\cos B\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} + \cos C\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \cos A\dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}} \right).\end{array}\)

LG b

Nếu ABC là tam giác đều thì \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \);

Lời giải chi tiết:

Nếu tam giác \(ABC\) đều thì \(a=b=c,\) \(\cos A=\cos B=\cos C,\) từ đó suy ra \(\overrightarrow u  =  - {a^2}.\cos A.(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} )\)\( = \overrightarrow 0 .\)

LG c

Nếu \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) thì ABC là tam giác đều.

Lời giải chi tiết:

Nhân vô hướng vec tơ \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) lần lượt với \(\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} ,  \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} ,  \dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}\), ta có:\(\overrightarrow u .\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} = 0\), suy ra \(\cos B - 2\cos C.\cos A = 0\).

Tương tự ta có \(\cos C - 2\cos A.\cos B = 0 ;\)\( \cos A - 2\cos B.\cos C = 0\).

Rút \(\cos B\) từ đẳng thức đầu và thay vào đẳng thức thứ hai, ta có \(\cos C - 4{\cos ^2}A.\cos C = 0\) mà \(\cos C \ne 0\) ( vì nếu \(\cos C = 0\) thì \(\cos B = 0\), \(\widehat B = \widehat C = {90^0}\), vô lí) nên \({\cos ^2}A = \dfrac{1}{4}\) hay \(\cos A =  \pm \dfrac{1}{2}\). Vậy \(\widehat A = {60^0}\), hoặc \(\widehat A = {120^0}\).

Tương tự như vậy, góc \(C\) hoặc bằng \(60^0\) hoặc bằng \(120^0\). Vì tổng ba góc của tam giác bằng \(180^0\), nên chỉ có thể có \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\). Vậy \(ABC\) là tam giác đều.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store