Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 2. Tích vô hướng của hai vec tơ

Bài 23 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 23 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\), điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AM = \dfrac{{AC}}{4}\). Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\). Chứng minh rằng \(BMN\) là tam giác vuông cân.

Lời giải chi tiết

 

Đặt \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow a  ,  \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b .\) Khi đó, ta có

\(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC}  = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ),\)

\(  \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}.\)

Từ đó suy ra

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM}\\  = \overrightarrow b  - \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\\ = \dfrac{1}{4}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b ).\\\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}\\  = \overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} - \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) \\= \dfrac{1}{4}(3\overrightarrow a  + \overrightarrow b ).\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}\\  = \dfrac{1}{{16}}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b )(3\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\\= \dfrac{1}{{16}}\left( { - 3\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  + 8\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 0.\\{\overrightarrow {MB} ^2} = \dfrac{1}{{16}}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b ) \\= \dfrac{1}{{16}}({\overrightarrow a ^2} + 9{\overrightarrow b ^2} - 6\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\\{\overrightarrow {MN} ^2} = \dfrac{1}{{16}}{\left( {3\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2}\\ = \dfrac{1}{{16}}\left( {9{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 6\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\\ = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\end{array}\)

Vậy \(MB \bot MN\) và \(MB=MN\), tam giác \(BMN\) vuông cân tại đỉnh \(M.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store