Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 2. Tích vô hướng của hai vec tơ

Bài 40 trang 44 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 40 trang 44 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) có các cạnh \(AB, CD\) kéo dài cắt nhau ở \(E\) và các cạnh \(AD, BC\) kéo dài cắt nhau ở \(F.\) Chứng minh rằng các trung điểm của các đoạn \(AC, BD\) và \(EF\) cùng thuộc một đường thẳng (đường thẳng Gao-xơ của tứ giác ).

Lời giải chi tiết

(h.47).

 

Kẻ các đường cao \(CC’, DD’, FF’\) của tam giác \(CDF\) và gọi \(H\) là trực tâm của tam giác đó thì

\(\overrightarrow {HC} .\overrightarrow {HC'}  = \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {HD'}\)

\(  = \overrightarrow {HF} .\overrightarrow {HF'} \,\,\,\,(*)\)

Ta có trung điểm \(I\) của \(AC\) cũng là tâm đường tròn đường kính \(AC\), đường tròn đó đi qua \(C’\) (do \(\widehat {AC'C} = {90^0}\)).

Suy ra \({\wp _{H/(I)}} = \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {HC'} \).

Tương tự như vậy, \({\wp _{H/(J)}} = \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {HD'} \) (\(J\) là tâm đường tròn đường kính \(BD\) ).

\({\wp _{H/(K)}} = \overrightarrow {HF} .\overrightarrow {HF'} \) (\(K\) là tâm đường tròn đường kính \(EF\) ).

Kết hợp với (*) suy ra

\({\wp _{H/(I)}} = {\wp _{H/(J)}} = {\wp _{H/(K)}}\).

Nếu lấy trực tâm \(H’\) của tam giác \(BCE\) ta cũng sẽ có

\({\wp _{H'/(I)}} = {\wp _{H'/(J)}} = {\wp _{H'/(K)}}\).

Vậy \(HH’\) là trục đẳng phương của hai đường tròn \((I)\) và \((J)\), nên \(HH' \bot IJ\). \(HH’\) cũng là trục đẳng phương của \((I)\) và \((K)\), nên \(HH' \bot IK\).

Từ đó ta có \(I, J, K\) thẳng hàng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store