Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 2. Tích vô hướng của hai vec tơ

Bài 28 trang 42 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 28 trang 42 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho điểm \(O\) bất kì nằm trong tam giác \(A_1A_2A_3\). Gọi \(B_1­, B_2, B_3\) lần lượt là hình chiếu của \(O\) trên \(A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1\). Đặt

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{a_1}}  = {A_1}{A_2}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_1}} }}{{O{B_1}}} ,\\\overrightarrow {{a_2}}  = {A_2}{A_3}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_2}} }}{{O{B_2}}} ,\\\overrightarrow {{a_3}}  = {A_3}{A_1}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_3}} }}{{O{B_3}}} .\end{array}\)

Chứng minh rằng \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}}  = \overrightarrow 0 \).

Chú ý: kết quả trên đúng với đa giác \(A_1A_2…A_n\)  bất kì (định lí Con Nhím). Trên hình 23, \(|\overrightarrow {{a_k}} | = {A_k}{A_{k + 1}}\) ( xem  \({A_{n + 1}} \equiv {A_1}\)), \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + ... + \overrightarrow {{a_n}}  = \overrightarrow 0 \) (các vec tơ \(\overrightarrow {{a_k}} \) được gọi là các “ lông nhím”).

Lời giải chi tiết

(h.37).

 

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} } \right).\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \\ = \left( {\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} } \right).\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \\= \left( {\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} } \right)\left( {\overrightarrow {{A_1}{A_3}}  - \overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right)\\= \overrightarrow {{a_2}} .\overrightarrow {{A_1}{A_3}}  - \overrightarrow {{a_3}} .\overrightarrow {{A_2}{A_3}} \\= |\overrightarrow {{a_2}} |{A_1}{A_3}.\cos \left( {\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{A_1}{A_3}} } \right) \\- |\overrightarrow {{a_3}} |.{A_2}{A_3}.\cos \left( {\overrightarrow {{a_3}} ,\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right).\\\end{array}\)

Theo giả thiết \(|\overrightarrow {{a_2}} | = {A_2}{A_3} ,  |\overrightarrow {{a_3}} | = {A_1}{A_3}\).

Ngoài ra dễ thấy \(\cos \left( {\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{A_1}{A_3}} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{a_3}} ,\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right).\)

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} } \right).\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = 0\). Do đó, vec tơ \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} \) vuông góc với đường thẳng \(A_1A_2\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có vec tơ \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} \) vuông góc với đường thẳng \(A_2A_3\).

Vậy \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}}  = 0\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store