Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 2. Tích vô hướng của hai vec tơ

Bài 36 trang 44 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 36 trang 44 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho đường tròn đường kính \(AB\) và đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(AB\) ở \(H\)(\(H\) không trùng với \(A\) và \(B\)). Một đường thẳng quay quanh \(H\) cắt đường tròn ở \(M, N\) và các đường thẳng \(AM, AN\) lần lượt cắt \(\Delta \) ở \(M’, N’.\)

a) Chứng minh rằng bốn điểm \(M, N, M’, N’\) cùng thuộc một đường tròn \((C)\) nào đó.

b) Chứng minh rằng các đường tròn \((C)\) luôn đi qua hai điểm cố định.

Lời giải chi tiết

(h.42).

 

a) Tứ giác \(HBMM’\) nội tiếp được do \(\widehat {M'HB} = \widehat {M'MB} = {90^0}\), suy ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AM'} .\)

Tứ giác \(HBN’N\) cũng nội tiếp được do \(\widehat {N'HB} = \widehat {N'NB} = {90^0}\), suy ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AN'} .\)

Từ đó ta có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AM'}  = \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AN'} \)

Suy ra \(M, N, M’, N’\) cùng thuộc một đường tròn, ta kí hiệu đường tròn đó là \((C).\)

b) Gọi \(P, Q\) là các giao điểm của \((C)\) với đường thẳng \(AB\) và \(E, F\) là các giao điểm của \(\Delta \) với đường tròn đường kính \(AB.\)

Khi đó

\(\overrightarrow {HE} .\overrightarrow {HF}  = \overrightarrow {HM} .\overrightarrow {HN}  = \overrightarrow {HP} .\overrightarrow {HQ} \) nên \(E, P, F, Q\) cùng thuộc đường tròn \((S)\). Đường tròn này tiếp xúc với \(AE, AF\) lần lượt tại \(E, F\) và do \(AE, AF\) đối xứng qua \(AB\) nên \((S)\) cố định, suy ra \(P, Q\) là hai điểm cố định.

Vậy \(P, Q\) thuộc đường tròn \((S)\) tiếp xúc với \(AE, AF\) ở \(E, F.\)

Do \((S)\) là đường tròn cố định nên \(P, Q\) là hai điểm cố định của \((C).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store