Bài 11 trang 190 SBT Hình học 10 Nâng cao

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm F=(1 ; 1)

Đề bài

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm F=(1 ; 1) và d là đường trung trực của đoạn thẳng OF. Viết phương trình đường cônic có tiêu điểm F, đường chuẩn d và tâm sai lần lượt là :

a) \(e = \sqrt 2 \), b) e=1, c) \(e = {1 \over {\sqrt 2 }}\).

Lời giải chi tiết

Đường trung trực d của OF cố nhiên đi qua điểm (0 ; 1) và (1 ; 0) nên d có phương trình x+y-1=0. Với mọi điểm M(x; y), gọi MH là khoảng cách từ M đến d thì \(MH = {{|x + y - 1|} \over {\sqrt 2 }}\) và khoảng cách từ M đến F là \(MF = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2}} \).

a) Conic có tâm sai \(e = \sqrt 2 \) là một hypebol. Ta có:

\({{MF} \over {MH}} = \sqrt 2 \, \Leftrightarrow \,\,\,M{F^2} = 2M{H^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = {(x + y - 1)^2}\,\, \Leftrightarrow 2xy = 1\).

Vậy hypebol đó có phương trình 2xy=1, hay cũng có thể viết \(y = {1 \over {2x}}\). Đó là hypebol đã biết ở cấp Trung học cơ sở.

b) Cônic có tâm sai e=1 là một parabol. Ta có:

\(\eqalign{ & {{MF} \over {MH}} = 1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,M{F^2} = M{H^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = {1 \over 2}{(x + y - 1)^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{x^2} + {y^2} - 2xy - 2x - 2y + 3 = 0. \cr} \)

Parabol có phương trình \({(x - y)^2} - 2(x + y) + 3 = 0\).

c) Cônic có tâm sai \(e = {1 \over {\sqrt 2 }}\) là đường elip. Ta có:

\(\eqalign{ & {{MF} \over {MH}} = {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2M{F^2} = M{H^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4{(x - 1)^2} + 4{(y - 1)^2} = {(x + y - 1)^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 3({x^2} + {y^2}) - 2xy - 6(x + y) + 7 = 0. \cr} \)

Loigiaihay.com