Bài 8 trang 189 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho đường tròn (C) có phương trình

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0\).

LG a

Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\end{array}\)

Tâm và bán kính của đường tròn lần lượt là \(I\left( {2;0} \right);R = 1\)

LG b

Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng 4x-3y=0.

Lời giải chi tiết:

Tâm đường tròn (C’) có bán kính bằng 1 và có tâm I’ đối xứng với I qua đường thẳng d: 4x-3y=0. Giả sử I’=(x ; y) thì vec tơ \(\overrightarrow {II'} = (x - 2;y)\) phải vuông góc với vec tơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = (3\,;\,4)\), tức là 3(x-2)+4y=0 hay 3x+4y-6=0. (1)

Ngoài ra trung điểm của II’ là \(P = \left( {{{x + 2} \over 2}\,;\,{y \over 2}} \right)\) phải nằm trên d, tức là: \({{4(x + 2)} \over 2} - {{3y} \over 2} = 0\) hay 4x-3y+8=0. (2)

Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta được tọa độ I’ là \(x = - {{14} \over {25}}\,,\,\,y = {{48} \over {25}}\).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là \({\left( {x + {{14} \over {25}}} \right)^2} + {\left( {y - {{48} \over {25}}} \right)^2} = 1\).

LG c

Gọi M là điểm có tọa độ M=(0 ; m). Gọi MT và MT’ là hai tiếp tuyến của (C). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm T và T’. Chứng minh rằng đường thẳng TT’ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải chi tiết:

Hiển nhiên hai tiếp điểm T và T’ đều nằm trên đường tròn (C₁) có đường kính MI. Đường tròn đó có tâm là trung điểm Q của MI, \(Q = \left( {1\,;\,{m \over 2}} \right)\) và có bán kính \(r = QI = \sqrt {1 + {{{m^2}} \over 4}} \). Vậy (C₁) có phương trình:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - {m \over 2}} \right)^2} = 1 + {{{m^2}} \over 4}\,\, \Leftrightarrow \,\,{x^2} + {y^2} - 2x - my = 0.\)

Hai tiếp điểm T và T’ là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C₁) nên tọa độ của chúng là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 2x - my = 0. \hfill \cr} \right.\)

Từ hai phương trình trên, ta suy ra 2x-my-3=0. (*)

Tọa độ của T và T’ là các nghiệm của hệ phương trình trên nên cũng là nghiệm của phương trình (*). Suy ra chính là phương trình của đường thẳng TT’. Đường thẳng đó luôn đi qua điểm cố định \(S\left( {{3 \over 2}\,;\,0} \right)\).

Loigiaihay.com