Bài 7 trang 189 SBT Hình học 10 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng \(\Delta (m)\) và \(\Delta '(m)\) phụ thuộc vào tham số m, có phương trình lần lượt là:

\(\eqalign{ & \Delta (m):\,\,\sqrt {1 - {m^2}} x - my = 0 \cr & \Delta '(m):\,\,\sqrt {1 - {m^2}} x - (m + 1)y + \sqrt {1 - {m^2}} = 0, \cr} \)

Trong đó \( - 1 < m < 1\).

LG a

Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng \(\Delta (m)\) luôn đi qua một điểm cố định và đường thẳng \(\Delta '(m)\) cũng luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải chi tiết:

Hiển nhiên đường thẳng \(\Delta (m)\) luôn luôn đi qua gốc tọa độ O. Phương trình của \(\Delta '(m)\) có thể viết dưới dạng : \(\sqrt {1 - {m^2}} (x + 1) - (m + 1)y = 0\), nên \(\Delta '(m)\) luôn đi qua điểm (-1 ; 0).

LG b

Tìm tọa độ giao điểm M của \(\Delta (m)\) và \(\Delta '(m)\).

Lời giải chi tiết:

Giải hệ \(\left\{ \matrix{ \sqrt {1 - {m^2}} x - my = 0 \hfill \cr \sqrt {1 - {m^2}} x - (m + 1)y + \sqrt {1 - {m^2}} = 0 \hfill \cr} \right.\) ta được giao điểm M có tọa độ x=m và \(y = \sqrt {1 - {m^2}} \).

LG c

Chứng minh rằng khi m thay đổi, điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết:

Theo câu b), tọa độ (x ; y) của M thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 1\). Vậy M luôn nằm trên đường tròn tâm O bán kính R=1.

LG d

Với giá trị nào của m thì góc giữa hai đường thẳng \(\Delta (m)\) và \(\Delta '(m)\) bằng 60⁰ ?

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta (m)\) và \(\Delta '(m)\) thì:

\(\eqalign{ & \cos \varphi = {{\left| {{{\left( {\sqrt {1 - {m^2}} } \right)}^2} + m(m + 1)} \right|} \over {\sqrt {(1 - {m^2}) + {m^2}} .\sqrt {(1 - {m^2}) + {{(m + 1)}^2}} }} = {{|m + 1|} \over {\sqrt {2(m + 1)} }} = \sqrt {{{m + 1} \over 2}} . \cr & \varphi = {60^0}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\cos \varphi = {1 \over 2}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\sqrt {{{m + 1} \over 2}} = {1 \over 2}\,\, \Leftrightarrow m = - {1 \over 2}. \cr} \)

Vậy \(m = - {1 \over 2}\).

Loigiaihay.com