Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao


Đề bài

Trên các cạnh \(AC\) và \(BC\) của tam giác \(ABC\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \( \dfrac{{AM}}{{MC}} =  \dfrac{{NC}}{{NB}} = k\), trên \(MN\) lấy điểm \(P\) sao cho \( \dfrac{{PM}}{{PN}} = k\). Gọi \(S, S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABC, APM\) và \(BPN\). Chứng minh \(\sqrt[3]{S} = \sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}}\).

 

Lời giải chi tiết

(h.137).

 

Từ giả thiết\( \dfrac{{AM}}{{MC}} = k\), ta suy ra: \( \dfrac{{AM}}{{AC}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}\) và \( \dfrac{{MC}}{{AC}} =  \dfrac{1}{{k + 1}}\).

Tương tự như thế:

\( \dfrac{{NC}}{{BC}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}  ,\) \(   \dfrac{{NB}}{{BC}} =  \dfrac{1}{{k + 1}}  , \) \(  \dfrac{{PM}}{{MN}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}  , \) \(  \dfrac{{PN}}{{MN}} =  \dfrac{1}{{k + 1}}\).

Từ đó suy ra :

\(\begin{array}{l}{S_1} = {S_{APM}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{AMN}} \\=  \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ACN}}\\       =  \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ABC}}\\ = {\left( { \dfrac{k}{{k + 1}}} \right)^3}S.\end{array}\)

Tính toán tương tự, ta có \({S_2} = {\left( { \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)^3}S\).

Vậy \(\sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}\sqrt[3]{S} +  \dfrac{1}{{k + 1}}\sqrt[3]{S}\)

\(= \sqrt[3]{S}\).

Loigiaihay.com

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.