Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Trên các cạnh \(AC\) và \(BC\) của tam giác \(ABC\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \( \dfrac{{AM}}{{MC}} =  \dfrac{{NC}}{{NB}} = k\), trên \(MN\) lấy điểm \(P\) sao cho \( \dfrac{{PM}}{{PN}} = k\). Gọi \(S, S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABC, APM\) và \(BPN\). Chứng minh \(\sqrt[3]{S} = \sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}}\).

 

Lời giải chi tiết

(h.137).

 

Từ giả thiết\( \dfrac{{AM}}{{MC}} = k\), ta suy ra: \( \dfrac{{AM}}{{AC}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}\) và \( \dfrac{{MC}}{{AC}} =  \dfrac{1}{{k + 1}}\).

Tương tự như thế:

\( \dfrac{{NC}}{{BC}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}  ,\) \(   \dfrac{{NB}}{{BC}} =  \dfrac{1}{{k + 1}}  , \) \(  \dfrac{{PM}}{{MN}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}  , \) \(  \dfrac{{PN}}{{MN}} =  \dfrac{1}{{k + 1}}\).

Từ đó suy ra :

\(\begin{array}{l}{S_1} = {S_{APM}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{AMN}} \\=  \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ACN}}\\       =  \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ABC}}\\ = {\left( { \dfrac{k}{{k + 1}}} \right)^3}S.\end{array}\)

Tính toán tương tự, ta có \({S_2} = {\left( { \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)^3}S\).

Vậy \(\sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}\sqrt[3]{S} +  \dfrac{1}{{k + 1}}\sqrt[3]{S}\)

\(= \sqrt[3]{S}\).

Loigiaihay.com

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Ph/hs Tham Gia Nhóm Để Cập Nhật Điểm Thi, Điểm Chuẩn Miễn Phí