Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Trên các cạnh \(AC\) và \(BC\) của tam giác \(ABC\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \( \dfrac{{AM}}{{MC}} = \dfrac{{NC}}{{NB}} = k\), trên \(MN\) lấy điểm \(P\) sao cho \( \dfrac{{PM}}{{PN}} = k\). Gọi \(S, S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABC, APM\) và \(BPN\). Chứng minh \(\sqrt[3]{S} = \sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}}\).

Lời giải chi tiết

(h.137).

Từ giả thiết\( \dfrac{{AM}}{{MC}} = k\), ta suy ra: \( \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{k}{{k + 1}}\) và \( \dfrac{{MC}}{{AC}} = \dfrac{1}{{k + 1}}\).

Tương tự như thế:

\( \dfrac{{NC}}{{BC}} = \dfrac{k}{{k + 1}} ,\) \( \dfrac{{NB}}{{BC}} = \dfrac{1}{{k + 1}} , \) \( \dfrac{{PM}}{{MN}} = \dfrac{k}{{k + 1}} , \) \( \dfrac{{PN}}{{MN}} = \dfrac{1}{{k + 1}}\).

Từ đó suy ra :

\(\begin{array}{l}{S_1} = {S_{APM}} = \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{AMN}} \\= \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ACN}}\\ = \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ABC}}\\ = {\left( { \dfrac{k}{{k + 1}}} \right)^3}S.\end{array}\)

Tính toán tương tự, ta có \({S_2} = {\left( { \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)^3}S\).

Vậy \(\sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}} = \dfrac{k}{{k + 1}}\sqrt[3]{S} + \dfrac{1}{{k + 1}}\sqrt[3]{S}\)

\(= \sqrt[3]{S}\).

Loigiaihay.com