Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Trên các cạnh \(AC\) và \(BC\) của tam giác \(ABC\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \( \dfrac{{AM}}{{MC}} =  \dfrac{{NC}}{{NB}} = k\), trên \(MN\) lấy điểm \(P\) sao cho \( \dfrac{{PM}}{{PN}} = k\). Gọi \(S, S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABC, APM\) và \(BPN\). Chứng minh \(\sqrt[3]{S} = \sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}}\).

 

Lời giải chi tiết

(h.137).

 

Từ giả thiết\( \dfrac{{AM}}{{MC}} = k\), ta suy ra: \( \dfrac{{AM}}{{AC}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}\) và \( \dfrac{{MC}}{{AC}} =  \dfrac{1}{{k + 1}}\).

Tương tự như thế:

\( \dfrac{{NC}}{{BC}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}  ,\) \(   \dfrac{{NB}}{{BC}} =  \dfrac{1}{{k + 1}}  , \) \(  \dfrac{{PM}}{{MN}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}  , \) \(  \dfrac{{PN}}{{MN}} =  \dfrac{1}{{k + 1}}\).

Từ đó suy ra :

\(\begin{array}{l}{S_1} = {S_{APM}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{AMN}} \\=  \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ACN}}\\       =  \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ABC}}\\ = {\left( { \dfrac{k}{{k + 1}}} \right)^3}S.\end{array}\)

Tính toán tương tự, ta có \({S_2} = {\left( { \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)^3}S\).

Vậy \(\sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}} =  \dfrac{k}{{k + 1}}\sqrt[3]{S} +  \dfrac{1}{{k + 1}}\sqrt[3]{S}\)

\(= \sqrt[3]{S}\).

Loigiaihay.com

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí