Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao>
Giải bài tập Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao
Đề bài
Trên các cạnh \(AC\) và \(BC\) của tam giác \(ABC\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \( \dfrac{{AM}}{{MC}} = \dfrac{{NC}}{{NB}} = k\), trên \(MN\) lấy điểm \(P\) sao cho \( \dfrac{{PM}}{{PN}} = k\). Gọi \(S, S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABC, APM\) và \(BPN\). Chứng minh \(\sqrt[3]{S} = \sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}}\).
Lời giải chi tiết
(h.137).
Từ giả thiết\( \dfrac{{AM}}{{MC}} = k\), ta suy ra: \( \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{k}{{k + 1}}\) và \( \dfrac{{MC}}{{AC}} = \dfrac{1}{{k + 1}}\).
Tương tự như thế:
\( \dfrac{{NC}}{{BC}} = \dfrac{k}{{k + 1}} ,\) \( \dfrac{{NB}}{{BC}} = \dfrac{1}{{k + 1}} , \) \( \dfrac{{PM}}{{MN}} = \dfrac{k}{{k + 1}} , \) \( \dfrac{{PN}}{{MN}} = \dfrac{1}{{k + 1}}\).
Từ đó suy ra :
\(\begin{array}{l}{S_1} = {S_{APM}} = \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{AMN}} \\= \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ACN}}\\ = \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ABC}}\\ = {\left( { \dfrac{k}{{k + 1}}} \right)^3}S.\end{array}\)
Tính toán tương tự, ta có \({S_2} = {\left( { \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)^3}S\).
Vậy \(\sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}} = \dfrac{k}{{k + 1}}\sqrt[3]{S} + \dfrac{1}{{k + 1}}\sqrt[3]{S}\)
\(= \sqrt[3]{S}\).
Loigiaihay.com
- Bài 5 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 6 trang 189 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 7 trang 189 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 8 trang 189 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 9 trang 189 SBT Hình học 10 Nâng cao
>> Xem thêm