Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 3.6 trang 107 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.6 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho tổng...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}.\)

LG a

Tính \({S_1},S{_2},{S_3},{S_4}\)

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\)

\({S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\)

\({S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\)

\({S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\)

Vậy \({S_1} = \dfrac{1}{5},{S_2} = \dfrac{2}{9},{S_3} = \dfrac{3}{{13}},{S_4} = \dfrac{4}{{17}}.\)

LG b

Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.

Lời giải chi tiết:

Viết lại \(S = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}},\) \({S_2} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{4.2 + 1}},\) \({S_3} = \dfrac{3}{{4.3 + 1}},{S_4} = \dfrac{4}{{4.4 + 1}}.\)

Ta có thể dự đoán \({S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}.\)

Chứng minh :

Với \(n = 1\) thì \({S_1} = \dfrac{1}{5}\) đúng.

Giả sử \({S_n}\) đúng với \(n = k\), nghĩa là \({S_k} = \dfrac{k}{{4k + 1}}\).

Ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Thật vậy, \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}}\) \( + \dfrac{1}{{\left[ {4\left( {k + 1} \right) - 3} \right].\left[ {4\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}\)

\( = \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\)

\( = \dfrac{{\left( {4k + 5} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store