Bài 3.1 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

**Giải bài 3.1 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11 . Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )...**

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N*\) )

LG a

\(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2};\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt vế trái bằng \({S_n}.\)

Với \(n = 1,\) ta có:

\(\begin{array}{l}
VT = {S_1} = 2\\
VP = \frac{{1.\left( {3.1 + 1} \right)}}{2} = 2\\
\Rightarrow VT = VP
\end{array}\)

Hệ thức đúng.

Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2}\) với \(k \ge 1.\)

Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{2}= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}.\)

Thật vậy

\({S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1\) \( = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2} + 3k + 2\) \( = \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\) \( = \dfrac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\left( {dpcm} \right)\)

LG b

\(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({S_n} = 3 + 9 + 27 + ... + {3^n}\).

Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 3 = \dfrac{1}{2}\left( {{3^2} - 3} \right)\) nên đúng.

Giả sử có \({S_k} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right)\), \(k \ge 1\).

Ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{3^{k + 1 + 1}} - 3} \right)= \frac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)\).

Thật vậy:

\({S_{k + 1}} =S_k+3^{k+1}= \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) + {3^{k + 1}}\) \( = \dfrac{3}{2}{.3^{k + 1}} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)\).

Vậy ta có đpcm.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 4 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3.2 trang 107 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.2 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )...
Bài 3.3 trang 107 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.3 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có...
Bài 3.4 trang 107 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.4 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)...
Bài 3.5 trang 107 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.5 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có...
Bài 3.6 trang 107 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.6 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho tổng...
Bài 3.7 trang 107 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.7 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Xét mệnh đề chứa biến...
Bài 3.8 trang 108 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.8 trang 108 sách bài tập đại số và giải tích 11. Đặt....