Bài 3.5 trang 107 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.5 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Với giá trị nào của số tự nhiên ta có

LG a

\({2^n} > 2n + 1\) ;

Phương pháp giải:

- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh

Lời giải chi tiết:

Dùng phép thử với \(n = 1,2,3,4\)ta dự đoán: Với \(n \ge 3\) thì bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

+) Với \(n = 3,\) hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì \({2^3} = 8 > 2.3 + 1 = 7.\)

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k,\) tức là \({2^k} > 2k + 1{\rm{          (1)}}\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1,\) tức là

\({2^{k + 1}} > 2k + 3{\rm{           }}\left( 2 \right)\)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

\({2^{k + 1}} > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1 > 2k + 3.\)

LG b

\({2^n} > {n^2} + 4n + 5\)

Phương pháp giải:

- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Dùng phép thử.

+) Với từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.

+) Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi \(n = 7,8,...\)

Ta chứng minh: Với \(n \ge 7\) thì \({2^n} > {n^2} + 4n + 5\) bằng quy nạp.

+) Với \(n=7\) thì \(VT={2^7} = 128 \)

\(VP= {7^2} + 4.7 + 5=82\)

VT > VP nên bđt đúng.

+) Giả sử bđt đúng với \(n=k\ge 7\), nghĩa là

\({2^k} > {k^2} + 4k + 5\) (1)

Ta chứng minh bđt đúng với \(n = k + 1\) nghĩa là \({2^{k + 1}} > {\left( {k + 1} \right)^2} + 4\left( {k + 1} \right) + 5\) hay \({2^{k + 1}} > {k^2} + 6k + 10\)

Thật vậy,

Nhân cả hai vế của (1) với 2 ta được:

\({2^{k + 1}} > 2{k^2} + 8k + 10\)\( = \left( {{k^2} + 6k + 10} \right) + {k^2} + 2k\)

\( > {k^2} + 6k + 10\) \( \Rightarrow {2^{k + 1}} > {k^2} + 6k + 10\)

Vậy ta có đpcm.

LG c

\({3^n} > {2^n} + 7n\)

Phương pháp giải:

- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 0,1,2,3\) thì bất đẳng thức không đúng.

Với \(n = 4,5,...\) thì ta thấy bất đẳng thức đúng.

Dự đoán \({3^n} > {2^n} + 7,\forall n \ge 4\).

Thật vậy, với \(n = 4\) thì \(VT = {3^4} > {2^4} + 7.4 = VP\).

Giả sử bđt đúng với \(n = k \ge 4\), nghĩa là \({3^k} > {2^k} + 7k\,\,\left( 1 \right)\).

Ta cần chứng minh \({3^{k + 1}} > {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right)\).

Nhân của hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(3\) ta được \({3.3^k} > {3.2^k} + 21k\) \( \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > {3.2^k} + 21k\) \( > {2.2^k} + 7k + 14k\) \( > {2.2^k} + 7k + 7 = {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right)\)

Vậy \(n \ge 4.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài