Bài 3.2 trang 107 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.2 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N*\) )

LG a

\({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3};\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt vế trái bằng \({S_n}.\)

+) Với \(n = 1,\) vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \(\dfrac{{1\left( {4.1 - 1} \right)}}{3} = 1.\)

+) Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3}\) với\(k \ge 1.\) Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}.\)

Thật vậy, ta có

\({S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]^2}\) \( = {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 1} \right)^2}\) \( = \dfrac{{k\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 3{{\left( {2k + 1} \right)}^2}}}{3}\) \( = \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k - 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]}}{3}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)}}{3}\) \( = \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{3}\)

\(\begin{array}{l}
= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {4{k^2} + 8k + 3} \right)}}{3}\\
= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4\left( {{k^2} + 2k + 1} \right) - 1} \right]}}{3}
\end{array}\)

\( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\)

Suy ra đpcm.

LG b

\({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}.\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt vế trái bằng \({A_n}.\)

+) Dễ thấy với \(n = 1,\) hệ thức đúng.

+) Giả sử đã có \({A_k} = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4},\left( {k \ge 1} \right).\)

Ta cần CM \({A_{k + 1}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)

Ta có \({A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3}\) \( = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3}\) \( = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2} + 4{{\left( {k + 1} \right)}^3}}}{4}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4}\) \( = \dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài