Bài 3.56 trang 183 SBT giải tích 12


Giải bài 3.56 trang 183 sách bài tập giải tích 12. Tích phân bằng...

Đề bài

\(\displaystyle  \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} \) bằng

A. \(\displaystyle  0\)                   B. \(\displaystyle  1\)

C. \(\displaystyle   - 1\)                D. \(\displaystyle  2\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tách tích phân đã cho thành các tích phân dễ tính hơn.

Lời giải chi tiết

\(\displaystyle  \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^3} + \frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{x^3}dx}  + \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}dx} \) \(\displaystyle   = I + J\)

Ta có: \(\displaystyle  I = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{x^3}dx} \)\(\displaystyle   = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{16}} - \frac{1}{{16}}} \right) = 0\)

Tính \(\displaystyle  J = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}dx} \)\(\displaystyle   = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}}  = \left. {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = 0\)

Vậy \(\displaystyle  \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx}  = I + J = 0\).

Chọn A.

Chú ý:

Có thể chứng minh hàm số \(\displaystyle  f\left( x \right) = \frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}\) là hàm số lẻ trên \(\displaystyle  \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) và sử dụng lý thuyết \(\displaystyle  \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx}  = 0\) nếu hàm số \(\displaystyle  f\left( x \right)\) lẻ trên \(\displaystyle  \left[ { - a;a} \right]\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài