Bài 3.46 trang 181 SBT giải tích 12


Giải bài 3.46 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:...

Đề bài

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) \(\displaystyle  y = x - 1 + \frac{{\ln x}}{x},y = x - 1\) và \(\displaystyle  x = e\);

b) \(\displaystyle  y = {x^3} - {x^2}\) và \(\displaystyle  y = \frac{1}{9}(x - 1)\);

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm \(\displaystyle  a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\)

- Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng:

\(\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + ... + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   + ... + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\displaystyle  x - 1 + \frac{{\ln x}}{x} = x - 1\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Khi đó \(\displaystyle  S = \int\limits_1^e {\left| {x - 1 + \frac{{\ln x}}{x} - x + 1} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^e {\left| {\frac{{\ln x}}{x}} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^e {\ln xd\left( {\ln x} \right)} \) \(\displaystyle   = \left. {\frac{{{{\ln }^2}x}}{2}} \right|_1^e = \frac{1}{2}\)

b) Ta có: \(\displaystyle  {x^3} - {x^2} = \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - \frac{1}{9}} \right) = 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\\x =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó:

\(\displaystyle  S = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^1 {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} {\left[ {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left[ {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \right|\)

\(\displaystyle   = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{9}.\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{9}x} \right)} \right|_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}}} \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{9}.\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{9}x} \right)} \right|_{\frac{1}{3}}^1} \right|\)

\(\displaystyle   = \left| {\frac{7}{{324}} + \frac{1}{{36}}} \right| + \left| { - \frac{1}{{36}} - \frac{7}{{324}}} \right| = \frac{8}{{81}}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài