Bài 3.46 trang 181 SBT giải tích 12


Đề bài

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) \(\displaystyle  y = x - 1 + \frac{{\ln x}}{x},y = x - 1\) và \(\displaystyle  x = e\);

b) \(\displaystyle  y = {x^3} - {x^2}\) và \(\displaystyle  y = \frac{1}{9}(x - 1)\);

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm \(\displaystyle  a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\)

- Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng:

\(\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + ... + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   + ... + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\displaystyle  x - 1 + \frac{{\ln x}}{x} = x - 1\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Khi đó \(\displaystyle  S = \int\limits_1^e {\left| {x - 1 + \frac{{\ln x}}{x} - x + 1} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^e {\left| {\frac{{\ln x}}{x}} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^e {\ln xd\left( {\ln x} \right)} \) \(\displaystyle   = \left. {\frac{{{{\ln }^2}x}}{2}} \right|_1^e = \frac{1}{2}\)

b) Ta có: \(\displaystyle  {x^3} - {x^2} = \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - \frac{1}{9}} \right) = 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\\x =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó:

\(\displaystyle  S = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^1 {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} {\left[ {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left[ {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \right|\)

\(\displaystyle   = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{9}.\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{9}x} \right)} \right|_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}}} \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{9}.\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{9}x} \right)} \right|_{\frac{1}{3}}^1} \right|\)

\(\displaystyle   = \left| {\frac{7}{{324}} + \frac{1}{{36}}} \right| + \left| { - \frac{1}{{36}} - \frac{7}{{324}}} \right| = \frac{8}{{81}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.