Bài 3.44 trang 180 SBT giải tích 12


Giải bài 3.44 trang 180 sách bài tập giải tích 12. Tính các tích phân sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tích phân sau:

LG a

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\), đặt \(\displaystyle  t = \sqrt y \)

Phương pháp giải:

Đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\)

Đặt \(\displaystyle  t = \sqrt y  \Rightarrow {t^2} = y \Rightarrow 2tdt = dy\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}.t.2tdt} \) \(\displaystyle   = 2\int\limits_0^1 {{t^2}\left( {{t^4} - 2{t^2} + 1} \right)dt} \) \(\displaystyle   = 2\int\limits_0^1 {\left( {{t^6} - 2{t^4} + {t^2}} \right)dt} \) \(\displaystyle   = 2\left. {\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - 2.\frac{{{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1\) \(\displaystyle   = 2\left( {\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{16}}{{105}}\)

LG b

\(\displaystyle  \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\), đặt \(\displaystyle  u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}\)

Phương pháp giải:

Đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\)

Đặt \(\displaystyle  u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}\) \(\displaystyle   \Rightarrow {u^3} = {\left( {z - 1} \right)^2}\) \(\displaystyle   \Rightarrow z = 1 + {u^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow dz = \frac{3}{2}{u^{\frac{1}{2}}}du\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {1 + {u^{\frac{3}{2}}}} \right)}^2} + 1} \right].u.\frac{3}{2}{u^{\frac{1}{2}}}du} \) \(\displaystyle   = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {{u^{\frac{3}{2}}}\left( {2 + 2{u^{\frac{3}{2}}} + {u^3}} \right)du} \)

\(\displaystyle   = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {\left( {2{u^{\frac{3}{2}}} + 2{u^3} + {u^{\frac{9}{2}}}} \right)du} \) \(\displaystyle   = \frac{3}{2}\left. {\left( {2.\frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + 2.\frac{{{u^4}}}{4} + \frac{2}{{11}}{u^{\frac{{11}}{2}}}} \right)} \right|_0^1\) \(\displaystyle   = \frac{3}{2}\left( {\frac{4}{5} + \frac{1}{2} + \frac{2}{{11}}} \right) = \frac{{489}}{{220}}\)

LG c

\(\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\)

Phương pháp giải:

Đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\)

Đặt \(\displaystyle  t = \sqrt {4 + 5\ln x}  \Rightarrow {t^2} = 4 + 5\ln x\) \(\displaystyle   \Rightarrow 2tdt = \frac{5}{x}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{2}{5}tdt\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\) \(\displaystyle   = \int\limits_2^3 {t.\frac{2}{5}tdt}  = \frac{2}{5}\int\limits_2^3 {{t^2}dt} \) \(\displaystyle   = \frac{2}{5}.\left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_2^3 = \frac{2}{5}\left( {\frac{{27}}{3} - \frac{8}{3}} \right) = \frac{{38}}{{15}}\).

LG d

\(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\cos }^5}\varphi }  - {\sin ^5}\varphi )d\varphi \)

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết: Nếu \(\displaystyle  f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\displaystyle  \left[ {a;b} \right]\) thì \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\cos x} \right)dx} \)

(bài 3.22 trang 172 SBT Giải tích 12 cơ bản).

Giải chi tiết:

Xét hàm số \(\displaystyle  f\left( t \right) = {t^5}\) xác định và liên tục trên \(\displaystyle  \mathbb{R}\).

Khi đó \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin \varphi } \right)d\varphi }  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\cos \varphi } \right)d\varphi } \) hay \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^5}\varphi d\varphi }  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^5}\varphi d\varphi } \)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^5}\varphi d\varphi }  - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^5}\varphi d\varphi }  = 0\) \(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\cos }^5}\varphi  - {{\sin }^5}\varphi } \right)d\varphi }  = 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài