Bài 3.45 trang 181 SBT giải tích 12


Giải bài 3.45 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Tính các tích phân sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tích phân sau:

LG a

\(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc kết hợp các công thức tính nguyên hàm các hàm số lượng giác.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  {\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\) \(\displaystyle   \Rightarrow \cos 2x.{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\cos 2x\left( {1 + \cos 2x} \right)\)

\(\displaystyle   = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\left( {1 + \cos 4x} \right)\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos 4x + \frac{1}{4}\)

Suy ra \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)\(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos 4x + \frac{1}{4}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = \left. {\left( {\frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\) \(\displaystyle   = \frac{1}{4} + \frac{\pi }{{16}}\)

LG b

\(\displaystyle  \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}}dx} \)

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân đưa về các hàm số dễ tính tích phân.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}} = \frac{{{e^x}}}{{\left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{e^x} + 1} \right)}}\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}} - \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)\)

Khi đó \(\displaystyle  \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}}dx} \) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}} - \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}dx}  - \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} dx} \right]\)

\(\displaystyle   = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{d\left( {{e^x}} \right)}}{{{e^x} - 1}}}  - \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{d\left( {{e^x}} \right)}}{{{e^x} + 1}}} } \right]\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\left. {\left[ {\ln \left| {{e^x} - 1} \right| - \ln \left| {{e^x} + 1} \right|} \right]} \right|_{\frac{1}{2}}^1\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\left. {\left[ {\ln \left| {\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}} \right|} \right]} \right|_{\frac{1}{2}}^1\)

\(\displaystyle   = \frac{1}{2}\left( {\ln \frac{{e - 1}}{{e + 1}} - \ln \frac{{\sqrt e  - 1}}{{\sqrt e  + 1}}} \right)\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\ln \frac{{\left( {e - 1} \right)\left( {\sqrt e  + 1} \right)}}{{\left( {e + 1} \right)\left( {\sqrt e  - 1} \right)}}\).

LG c

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx} \)

Phương pháp giải:

Tách tích phân đã cho thành các tích phân nhỏ dễ tính hơn.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \frac{{x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle   = \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Khi đó \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}dx}  + \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \) \(\displaystyle   = I + J\)

\(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\ln \left( {x + 1} \right)d\left( {\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \) \(\displaystyle   = \left. {\frac{{{{\ln }^2}\left( {x + 1} \right)}}{2}} \right|_0^1 = \frac{{{