Bài 3.47 trang 181 SBT giải tích 12


Giải bài 3.47 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi

LG câu a

\(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ \(\displaystyle  x = 1\), quanh trục \(\displaystyle  Oy\);

Phương pháp giải:

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ bằng \(\displaystyle  1\).

- Rút \(\displaystyle  x\) theo \(\displaystyle  y\) và dựng hình rồi tính thể tích theo phương pháp cộng, trừ thể tích.

Chú ý: công thức \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  y' = \frac{2}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}}\).

Với \(\displaystyle  x = 1\) thì \(\displaystyle  y = 1\) và \(\displaystyle  y'\left( 1 \right) = \frac{2}{3}\). Tiếp tuyến \(\displaystyle  y = \frac{2}{3}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\)

Có \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow x = {y^{\frac{3}{2}}}\) và \(\displaystyle  y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}\)

Khi đó \(\displaystyle  {y^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 1\). Ta có: \(\displaystyle  \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{y^{\frac{3}{2}}}} \right)}^2}dy}  - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}} \right)}^2}dy} \)\(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {{y^3}dy}  - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}} \right)}^2}dy} \)

\(\displaystyle   = \pi .\left. {\frac{{{y^4}}}{4}} \right|_0^1 - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left( {\frac{9}{4}{y^2} - \frac{3}{2}y + \frac{1}{4}} \right)dy} \) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{4} - \pi .\left. {\left( {\frac{3}{4}{y^3} - \frac{3}{4}{y^3} + \frac{1}{4}y} \right)} \right|_{\frac{1}{3}}^1\) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{4} - \frac{{2\pi }}{9} = \frac{\pi }{{36}}\)


LG b

\(\displaystyle  y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục \(\displaystyle  Ox\)

Phương pháp giải:

Dựng hình rồi tính thể tích theo phương pháp cộng, trừ thể tích.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \frac{1}{x} - 1 = 2x \Rightarrow x = \frac{1}{2}\); \(\displaystyle  \frac{1}{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\); \(\displaystyle  2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Do đó \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{{\left( {2x} \right)}^2}dx}  + \pi \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {{{\left( {\frac{1}{x} - 1} \right)}^2}dx} \) \(\displaystyle   = \pi .\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {4{x^2}dx}  + \pi .\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{x} + 1} \right)dx} \)

\(\displaystyle   = \pi .\left. {\frac{{4{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \pi \left. {\left( { - \frac{1}{x} - 2\ln x + x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1\) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{6} + \pi \left( {0 + 2 + 2\ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right)\) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{6} + \frac{{3\pi }}{2} - 2\pi \ln 2\)

\(\displaystyle   = \frac{{5\pi }}{3} - 2\pi \ln 2\)


LG c

\(\displaystyle  y = \left| {2x - {x^2}} \right|,y = 0\) và \(\displaystyle  x = 3\), quanh:

* Trục \(\displaystyle  Ox\)

* Trục \(\displaystyle  Oy\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết:

+) Quay quanh \(\displaystyle  Ox\).

Ta có: \(\displaystyle  \left| {2x - {x^2}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Khi đó \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \) \(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^3 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = \pi \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - {x^4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^3\)

\(\displaystyle   = \pi \left( {\frac{{4.27}}{3} - {3^4} + \frac{{{3^5}}}{5}} \right) = \frac{{18\pi }}{5}\).

+) Quay quanh \(\displaystyle  Oy\).

Ta có: \(\displaystyle  y = \left| {2x - {x^2}} \right|\) \(\displaystyle   \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x - {x^2}\\y =  - 2x + {x^2}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + y = 0\\{x^2} - 2x - y = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \pm \sqrt {1 - y} \\x = 1 \pm \sqrt {1 + y} \end{array} \right.\)

Dựng hình:

Ta có: \(\displaystyle  {V_y} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} \right]dy} \) \(\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left[ {{3^2} - {{\left( {1 + \sqrt {1 + y} } \right)}^2}} \right]dy} \)

\(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 + 2\sqrt {1 - y}  + 1 - y - 1 + 2\sqrt {1 - y}  - 1 + y} \right)dy} \)\(\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left( {9 - 1 - 2\sqrt {1 + y}  - 1 - y} \right)dy} \)

\(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {4\sqrt {1 - y} dy} \) \(\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left( {7 - y - 2\sqrt {1 + y} } \right)dy} \)

\(\displaystyle   = 4\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy} \) \(\displaystyle   + \pi \left[ {\left. {\left( {7y - \frac{{{y^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 - 2\int\limits_0^3 {\sqrt {1 + y} dy} } \right]\) \(\displaystyle   = 4\pi I + \pi \left( {\frac{{33}}{2} - 2J} \right)\)

Tính \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy} \) ta có:

Đặt \(\displaystyle  \sqrt {1 - y}  = t \Rightarrow 1 - y = {t^2}\) \(\displaystyle   \Rightarrow  - dy = 2tdt \Rightarrow dy =  - 2tdt\)

\(\displaystyle   \Rightarrow I = \int\limits_1^0 {t.\left( { - 2tdt} \right)} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {2{t^2}dt}  = \left. {\frac{2}{3}{t^3}} \right|_0^1 = \frac{2}{3}\)

Tính \(\displaystyle  J = \int\limits_0^3 {\sqrt {1 + y} dy} \) ta có:

Đặt \(\displaystyle  t = \sqrt {1 + y}  \Rightarrow {t^2} = 1 + y\) \(\displaystyle   \Rightarrow 2tdt = dy\) \(\displaystyle   \Rightarrow J = \int\limits_1^2 {t.2tdt}  = \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{{14}}{3}\)

Vậy \(\displaystyle  V = 4\pi .\frac{2}{3} + \pi \left( {\frac{{33}}{2} - 2.\frac{{14}}{3}} \right) = \frac{{59\pi }}{6}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.2 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài