Bài 3.47 trang 181 SBT giải tích 12


Giải bài 3.47 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi

LG câu a

\(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ \(\displaystyle  x = 1\), quanh trục \(\displaystyle  Oy\);

Phương pháp giải:

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ bằng \(\displaystyle  1\).

- Rút \(\displaystyle  x\) theo \(\displaystyle  y\) và dựng hình rồi tính thể tích theo phương pháp cộng, trừ thể tích.

Chú ý: công thức \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  y' = \frac{2}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}}\).

Với \(\displaystyle  x = 1\) thì \(\displaystyle  y = 1\) và \(\displaystyle  y'\left( 1 \right) = \frac{2}{3}\). Tiếp tuyến \(\displaystyle  y = \frac{2}{3}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\)

Có \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow x = {y^{\frac{3}{2}}}\) và \(\displaystyle  y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}\)

Khi đó \(\displaystyle  {y^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 1\). Ta có: \(\displaystyle  \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{y^{\frac{3}{2}}}} \right)}^2}dy}  - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}} \right)}^2}dy} \)\(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {{y^3}dy}  - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}} \right)}^2}dy} \)

\(\displaystyle   = \pi .\left. {\frac{{{y^4}}}{4}} \right|_0^1 - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left( {\frac{9}{4}{y^2} - \frac{3}{2}y + \frac{1}{4}} \right)dy} \) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{4} - \pi .\left. {\left( {\frac{3}{4}{y^3} - \frac{3}{4}{y^3} + \frac{1}{4}y} \right)} \right|_{\frac{1}{3}}^1\) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{4} - \frac{{2\pi }}{9} = \frac{\pi }{{36}}\)


LG b

\(\displaystyle  y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục \(\displaystyle  Ox\)

Phương pháp giải:

Dựng hình rồi tính thể tích theo phương pháp cộng, trừ thể tích.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \frac{1}{x} - 1 = 2x \Rightarrow x = \frac{1}{2}\); \(\displaystyle  \frac{1}{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\); \(\displaystyle  2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Do đó \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{{\left( {2x} \right)}^2}dx}  + \pi \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {{{\left( {\frac{1}{x} - 1} \right)}^2}dx} \) \(\displaystyle   = \pi .\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {4{x^2}dx}  + \pi .\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{x} + 1} \right)dx} \)

\(\displaystyle   = \pi .\left. {\frac{{4{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \pi \left. {\left( { - \frac{1}{x} - 2\ln x + x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1\) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{6} + \pi \left( {0 + 2 + 2\ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right)\) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{6} + \frac{{3\pi }}{2} - 2\pi \ln 2\)

\(\displaystyle   = \frac{{5\pi }}{3} - 2\pi \ln 2\)


LG c

\(\displaystyle  y = \left| {2x - {x^2}} \right|,y = 0\) và \(\displaystyle  x = 3\), quanh:

* Trục \(\displaystyle  Ox\)

* Trục \(\displaystyle  Oy\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết:

+) Quay quanh \(\displaystyle  Ox\).

Ta có: \(\displaystyle  \left| {2x - {x^2}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Khi đó \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \) \(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^3 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = \pi \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - {x^4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^3\)

\(\displaystyle   = \pi \left( {\frac{{4.27}}{3} - {3^4} + \frac{{{3^5}}}{5}} \right) = \frac{{18\pi }}{5}\).

+) Quay quanh \(\displaystyle  Oy\).

Ta có: \(\displaystyle  y = \left| {2x - {x^2}} \right|\) \(\displaystyle   \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x - {x^2}\\y =  - 2x + {x^2}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + y = 0\\{x^2} - 2x - y = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \pm \sqrt {1 - y} \\x = 1 \pm \sqrt {1 + y} \end{array} \right.\)

Dựng hình:

Ta có: \(\displaystyle  {V_y} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} \right]dy} \) \(\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left[ {{3^2} - {{\left( {1 + \sqrt {1 + y} } \right)}^2}} \right]dy} \)

\(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 + 2\sqrt {1 - y}  + 1 - y - 1 + 2\sqrt {1 - y}  - 1 + y} \right)dy} \)\(\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left( {9 - 1 - 2\sqrt {1 + y}  - 1 - y} \right)dy} \)

\(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {4\sqrt {1 - y} dy} \) \(\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left( {7 - y - 2\sqrt {1 + y} } \right)dy} \)

\(\displaystyle   = 4\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy} \) \(\displaystyle   + \pi \left[ {\left. {\left( {7y - \frac{{{y^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 - 2\int\limits_0^3 {\sqrt {1 + y} dy} } \right]\) \(\displaystyle   = 4\pi I + \pi \left( {\frac{{33}}{2} - 2J} \right)\)

Tính \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy} \) ta có:

Đặt \(\displaystyle  \sqrt {1 - y}  = t \Rightarrow 1 - y = {t^2}\) \(\displaystyle   \Rightarrow  - dy = 2tdt \Rightarrow dy =  - 2tdt\)

\(\displaystyle   \Rightarrow I = \int\limits_1^0 {t.\left( { - 2tdt} \right)} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {2{t^2}dt}  = \left. {\frac{2}{3}{t^3}} \right|_0^1 = \frac{2}{3}\)

Tính \(\displaystyle  J = \int\limits_0^3 {\sqrt {1 + y} dy} \) ta có:

Đặt \(\displaystyle  t = \sqrt {1 + y}  \Rightarrow {t^2} = 1 + y\) \(\displaystyle   \Rightarrow 2tdt = dy\) \(\displaystyle   \Rightarrow J = \int\limits_1^2 {t.2tdt}  = \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{{14}}{3}\)

Vậy \(\displaystyle  V = 4\pi .\frac{2}{3} + \pi \left( {\frac{{33}}{2} - 2.\frac{{14}}{3}} \right) = \frac{{59\pi }}{6}\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.2 trên 5 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài