Bài 3.43 trang 180 SBT giải tích 12


Giải bài 3.43 trang 180 sách bài tập giải tích 12. Tính các nguyên hàm sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các nguyên hàm sau:

LG a

\(\displaystyle  \int {(2x - 3)\sqrt {x - 3} dx} \), đặt \(\displaystyle  u = \sqrt {x - 3} \)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(\displaystyle  u = \sqrt {x - 3} \), tính \(\displaystyle  du\) và thay vào tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\displaystyle  u = \sqrt {x - 3} \)\(\displaystyle   \Rightarrow {u^2} = x - 3 \Rightarrow 2udu = dx\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int {(2x - 3)\sqrt {x - 3} dx} \) \(\displaystyle   = \int {\left[ {2\left( {{u^2} + 3} \right) - 3} \right].u.2udu} \) \(\displaystyle   = 2\int {{u^2}\left( {2{u^2} + 3} \right)du} \) \(\displaystyle   = 2\int {\left( {2{u^4} + 3{u^2}} \right)du} \)

\(\displaystyle   = 2\left( {2.\frac{{{u^5}}}{5} + 3.\frac{{{u^3}}}{3}} \right) + C\)

\(\displaystyle   = \frac{4}{5}{u^5} + 2{u^3} + C\)

\(\displaystyle   = \frac{4}{5}.{\left( {\sqrt {x - 3} } \right)^5} + 2{\left( {\sqrt {x - 3} } \right)^3} + C\)

\(\displaystyle   = \frac{4}{5}{\left( {x - 3} \right)^{\frac{5}{2}}} +2 {\left( {x - 3} \right)^{\frac{3}{2}}} + C\)

LG b

\(\displaystyle  \int {\frac{x}{{{{(1 + {x^2})}^{\frac{3}{2}}}}}} dx\), đặt \(\displaystyle  u = \sqrt {{x^2} + 1} \)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(\displaystyle  u = \sqrt {{x^2} + 1} \), tính \(\displaystyle  du\) và thay vào tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\displaystyle  u = \sqrt {{x^2} + 1} \)\(\displaystyle   \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1\)

\( \Rightarrow 2udu = 2xdx\) \(\Rightarrow udu = xdx\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int {\frac{x}{{{{(1 + {x^2})}^{\frac{3}{2}}}}}} dx\) \(\displaystyle   = \int {\frac{{udu}}{{{u^3}}}}  = \int {\frac{{du}}{{{u^2}}}} \) \(\displaystyle   =  - \frac{1}{u} + C =  - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + C\)

LG c

\(\displaystyle  \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\), đặt \(\displaystyle  u = {e^{2x}} + 1\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(\displaystyle  u = {e^{2x}} + 1\), tính \(\displaystyle  du\) và thay vào tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\)\(\displaystyle   = \int {\frac{{{e^x}.{e^x}}}{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right).{e^x}}}dx} \) \(\displaystyle   = \int {\frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}dx} \)

Đặt \(\displaystyle  u = {e^{2x}} + 1 \Rightarrow du = 2{e^{2x}}dx\)

Khi đó \(\displaystyle  \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\) \(\displaystyle   = \int {\frac{{du}}{{2u}}}  = \frac{1}{2}\ln u\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\)

LG d

\(\displaystyle  \int {\frac{1}{{\sin x - \sin a}}} dx\)

Phương pháp giải:

- Biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm bằng cách sử dụng công thức:

\(\displaystyle  \sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\)

- Nhân cả tử và mẫu của biểu thức có được với \(\displaystyle  \cos a\) rồi biến đổi, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \frac{1}{{\sin x - \sin a}}\)\(\displaystyle   = \frac{1}{{2\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\) \(\displaystyle   = \frac{{\cos a}}{{2\cos a\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\)

\(\displaystyle   = \frac{{\cos \left( {\frac{{x + a}}{2} - \frac{{x - a}}{2}} \right)}}{{2\cos a\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\) \(\displaystyle   = \frac{{\cos \frac{{x + a}}{2}\cos \frac{{x - a}}{2} + \sin \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{2\cos a\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\)

\(\displaystyle   = \frac{1}{{2\cos a}}\left( {\frac{{\cos \frac{{x - a}}{2}}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}} + \frac{{\sin \frac{{x + a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \right)\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int {\frac{1}{{\sin x - \sin a}}} dx\) \(\displaystyle   = \frac{1}{{2\cos a}}\int {\left( {\frac{{\cos \frac{{x - a}}{2}}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}} + \frac{{\sin \frac{{x + a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \right)dx} \)

+) Tính \(\displaystyle  J = \int {\frac{{\cos \frac{{x - a}}{2}}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}dx} \) \(\displaystyle   = \int {\frac{{2d\left( {\sin \frac{{x - a}}{2}} \right)}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}} \) \(\displaystyle   = 2\ln \left| {\sin \frac{{x - a}}{2}} \right| + D\)

+) Tính \(\displaystyle  K = \int {\frac{{\sin \frac{{x + a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}dx} \) \(\displaystyle   = \int {\frac{{ - 2d\left( {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right)}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \) \(\displaystyle   =  - 2\ln \left| {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right| + D\)

\(\displaystyle   \Rightarrow I = \frac{1}{{2\cos a}}\left( {J + K} \right)\) \(\displaystyle   = \frac{1}{{2\cos a}}\left( {2\ln \left| {\sin \frac{{x - a}}{2}} \right| - 2\ln \left| {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right|} \right) + C\) \(\displaystyle   = \frac{1}{{\cos a}}\ln \left| {\frac{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \right| + C\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài