Giải SBT toán hình học và giải tích 12 cơ bản

Ôn tập chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 3.44 trang 180 SBT giải tích 12

Giải bài 3.44 trang 180 sách bài tập giải tích 12. Tính các tích phân sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tích phân sau:

LG a

$\displaystyle \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy$ , đặt $\displaystyle t = \sqrt y$

Phương pháp giải:

Đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

$\displaystyle \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy$

Đặt $\displaystyle t = \sqrt y \Rightarrow {t^2} = y \Rightarrow 2tdt = dy$

$\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy$ $\displaystyle = \int\limits_0^1 {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}.t.2tdt}$ $\displaystyle = 2\int\limits_0^1 {{t^2}\left( {{t^4} - 2{t^2} + 1} \right)dt}$ $\displaystyle = 2\int\limits_0^1 {\left( {{t^6} - 2{t^4} + {t^2}} \right)dt}$ $\displaystyle = 2\left. {\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - 2.\frac{{{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1$ $\displaystyle = 2\left( {\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{16}}{{105}}$

LG b

$\displaystyle \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz$ , đặt $\displaystyle u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}$

Phương pháp giải:

Đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

$\displaystyle \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz$

Đặt $\displaystyle u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}$ $\displaystyle \Rightarrow {u^3} = {\left( {z - 1} \right)^2}$ $\displaystyle \Rightarrow z = 1 + {u^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow dz = \frac{3}{2}{u^{\frac{1}{2}}}du$

$\displaystyle \Rightarrow \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz$ $\displaystyle = \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {1 + {u^{\frac{3}{2}}}} \right)}^2} + 1} \right].u.\frac{3}{2}{u^{\frac{1}{2}}}du}$ $\displaystyle = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {{u^{\frac{3}{2}}}\left( {2 + 2{u^{\frac{3}{2}}} + {u^3}} \right)du}$

$\displaystyle = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {\left( {2{u^{\frac{3}{2}}} + 2{u^3} + {u^{\frac{9}{2}}}} \right)du}$ $\displaystyle = \frac{3}{2}\left. {\left( {2.\frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + 2.\frac{{{u^4}}}{4} + \frac{2}{{11}}{u^{\frac{{11}}{2}}}} \right)} \right|_0^1$ $\displaystyle = \frac{3}{2}\left( {\frac{4}{5} + \frac{1}{2} + \frac{2}{{11}}} \right) = \frac{{489}}{{220}}$

LG c

$\displaystyle \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx$

Phương pháp giải:

Đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

$\displaystyle \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx$

Đặt $\displaystyle t = \sqrt {4 + 5\ln x} \Rightarrow {t^2} = 4 + 5\ln x$ $\displaystyle \Rightarrow 2tdt = \frac{5}{x}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{2}{5}tdt$

$\displaystyle \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx$ $\displaystyle = \int\limits_2^3 {t.\frac{2}{5}tdt} = \frac{2}{5}\int\limits_2^3 {{t^2}dt}$ $\displaystyle = \frac{2}{5}.\left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_2^3 = \frac{2}{5}\left( {\frac{{27}}{3} - \frac{8}{3}} \right) = \frac{{38}}{{15}}$ .

LG d

$\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\cos }^5}\varphi } - {\sin ^5}\varphi )d\varphi$

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết: Nếu $\displaystyle f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\displaystyle \left[ {a;b} \right]$ thì $\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\cos x} \right)dx}$

(bài 3.22 trang 172 SBT Giải tích 12 cơ bản).

Giải chi tiết:

Xét hàm số $\displaystyle f\left( t \right) = {t^5}$ xác định và liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .

Khi đó $\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin \varphi } \right)d\varphi } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\cos \varphi } \right)d\varphi }$ hay $\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^5}\varphi d\varphi } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^5}\varphi d\varphi }$

$\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^5}\varphi d\varphi } - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^5}\varphi d\varphi } = 0$ $\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\cos }^5}\varphi - {{\sin }^5}\varphi } \right)d\varphi } = 0$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 3 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3.45 trang 181 SBT giải tích 12
Giải bài 3.45 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Tính các tích phân sau:...
Bài 3.46 trang 181 SBT giải tích 12
Giải bài 3.46 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:...
Bài 3.47 trang 181 SBT giải tích 12
Giải bài 3.47 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi...
Bài 3.48 trang 181 SBT giải tích 12
Giải bài 3.48 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:...
Bài 3.49 trang 182 SBT giải tích 12
Giải bài 3.49 trang 182 sách bài tập giải tích 12. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số...
Bài 3.50 trang 182 SBT giải tích 12
Giải bài 3.50 trang 182 sách bài tập giải tích 12. Nếu tích phân từ a đến d...
Bài 3.51 trang 182 SBT giải tích 12
Giải bài 3.51 trang 182 sách bài tập giải tích 12. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:...
Bài 3.52 trang 182 SBT giải tích 12
Giải bài 3.52 trang 182 sách bài tập giải tích 12. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:...
Bài 3.53 trang 183 SBT giải tích 12
Giải bài 3.53 trang 183 sách bài tập giải tích 12. Tích phân bằng...
Bài 3.54 trang 183 SBT giải tích 12
Giải bài 3.54 trang 183 sách bài tập giải tích 12. Nhờ ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:...
Bài 3.55 trang 183 SBT giải tích 12
Giải bài 3.55 trang 183 sách bài tập giải tích 12. Thể tích của khối tròn xoay tạo nên do quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường...
Bài 3.56 trang 183 SBT giải tích 12
Giải bài 3.56 trang 183 sách bài tập giải tích 12. Tích phân bằng...
Bài 3.57 trang 183 SBT giải tích 12
Giải bài 3.57 trang 183 sách bài tập giải tích 12. Khẳng định nào sau đây sai?...
Bài 3.58 trang 184 SBT giải tích 12
Giải bài 3.58 trang 184 sách bài tập giải tích 12. Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường...
Bài 3.59 trang 184 SBT giải tích 12
Giải bài 3.59 trang 184 sách bài tập giải tích 12. Thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục...
Bài 3.60 trang 184 SBT giải tích 12
Giải bài 3.60 trang 184 sách bài tập giải tích 12. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc...
Bài 3.43 trang 180 SBT giải tích 12
Giải bài 3.43 trang 180 sách bài tập giải tích 12. Tính các nguyên hàm sau:...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.