Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài 2: Dãy số

Bài 3.14 trang 118 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.14 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số ...

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn điều kiện: Với mọi \(n \in N*\) thì \(0 < {u_n} < 1\) và \({u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\)

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) và suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Vì \(0 < {u_n} < 1\) với mọi \(n\) nên \(1 - {u_{n + 1}} > 0.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \({{u_{n + 1}}}\) và \(1-{{u_{n + 1}}}\)ta có:

\(\sqrt {{u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)}  \le \frac{{{u_{n + 1}} + \left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)}}{2} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow {u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) \le \dfrac{1}{4}.\) (1)

Mặt khác, từ giả thiết

\({u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\) suy ra  \({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - \dfrac{1}{4}\) hay \(\dfrac{1}{4} < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right).\) (2)

So sánh (1) và (2) ta có: \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) hay \({u_{n + 1}} < {u_n}.\)

Vậy dãy số đã cho giảm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store