Bài 3.14 trang 118 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 3.14 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số ...

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn điều kiện: Với mọi \(n \in N*\) thì \(0 < {u_n} < 1\) và \({u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\)

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) và suy ra điều phải chứng minh.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Vì \(0 < {u_n} < 1\) với mọi \(n\) nên \(1 - {u_{n + 1}} > 0.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \({{u_{n + 1}}}\) và \(1-{{u_{n + 1}}}\)ta có:

\(\sqrt {{u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)} \le \frac{{{u_{n + 1}} + \left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)}}{2} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow {u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) \le \dfrac{1}{4}.\) (1)

Mặt khác, từ giả thiết

\({u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - \dfrac{1}{4}\) hay \(\dfrac{1}{4} < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right).\) (2)

So sánh (1) và (2) ta có: \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) hay \({u_{n + 1}} < {u_n}.\)

Vậy dãy số đã cho giảm.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.6 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3.15 trang 118 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.15 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số...
Bài 3.16 trang 118 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.16 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số ...
Bài 3.17 trang 118 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.17 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số...
Bài 3.13 trang 118 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.13 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Viết năm số hạng đầu của dãy số;...
Bài 3.12 trang 118 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.12 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Viết công thức truy hồi của dãy số ;
Bài 3.11 trang 118 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.11 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số (un) xác định bởi...
Bài 3.10 trang 117 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.10 trang 117 sách bài tập đại số và giải tích 11. Trong các dãy số (un) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?
Bài 3.9 trang 117 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.9 trang 117 sách bài tập đại số và giải tích 11. Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số (un) biết ...