Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài 2: Dãy số

Bài 3.11 trang 118 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.11 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số (un) xác định bởi...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2{\rm{ voi }} n\ge {\rm{1}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

LG a

Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\) 

Phương pháp giải:

- Tính \(u_2,u_3,...,u_{n+1}\)

- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính \(u_{n+1}\) theo \(n\).

- Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 4\\{u_4} = {u_3} + 7\\{u_5} = {u_4} + 10\\...\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array}\)

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:

\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + {u_{n + 1}}\) \( = 5 + \left( {{u_1} + 1} \right) + \left( {{u_2} + 4} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3n - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = 5 + 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

Ta chứng minh \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) bằng quy nạp.

Đặt \({S_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

+) Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 1\) đúng.

+) Giả sử \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2}\), ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\).

Thật vậy,

\({S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 2\) \( = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + 3k + 1\) \( = \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2}\) \( = \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\)

Do đó ta được \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\)

Vậy \({u_{n + 1}} = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) hay \({u_n} = 5 + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\)

LG b

Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

Phương pháp giải:

- Tính \(u_2,u_3,...,u_{n+1}\)

- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính \(u_{n+1}\) theo \(n\).

- Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2} - 5 - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\) \( = \dfrac{{3{n^2} - n - 3{n^2} + 3n + 4n - 4}}{2}\) \( = \dfrac{{6n - 4}}{2} > 0,\forall n\).

Vậy dãy số đã cho tăng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store