Bài 3.11 trang 118 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.11 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số (un) xác định bởi...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2{\rm{ voi }} n\ge {\rm{1}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

LG a

Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\) 

Phương pháp giải:

- Tính \(u_2,u_3,...,u_{n+1}\)

- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính \(u_{n+1}\) theo \(n\).

- Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 4\\{u_4} = {u_3} + 7\\{u_5} = {u_4} + 10\\...\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array}\)

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:

\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + {u_{n + 1}}\) \( = 5 + \left( {{u_1} + 1} \right) + \left( {{u_2} + 4} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3n - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = 5 + 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

Ta chứng minh \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) bằng quy nạp.

Đặt \({S_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

+) Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 1\) đúng.

+) Giả sử \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2}\), ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\).

Thật vậy,

\({S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 2\) \( = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + 3k + 1\) \( = \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2}\) \( = \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\)

Do đó ta được \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\)

Vậy \({u_{n + 1}} = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) hay \({u_n} = 5 + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\)

LG b

Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

Phương pháp giải:

- Tính \(u_2,u_3,...,u_{n+1}\)

- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính \(u_{n+1}\) theo \(n\).

- Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2} - 5 - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\) \( = \dfrac{{3{n^2} - n - 3{n^2} + 3n + 4n - 4}}{2}\) \( = \dfrac{{6n - 4}}{2} > 0,\forall n\).

Vậy dãy số đã cho tăng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Dãy số

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài