Bài 1.83 trang 41 SBT giải tích 12


Giải bài 1.83 trang 41 sách bài tập giải tích 12. Chứng minh rằng phương trình...

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình \(3{x^5} + 15x-8 = 0\) chỉ có một nghiệm thực.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ.

- Chứng tỏ phương trình có nghiệm, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Hàm số \(f(x) = 3{x^5} + 15x - 8\) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).

Có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)  nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.

Mà \(f(0) =  - 8 < 0,f(1) = 10 > 0\)\( \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\) nên tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in (0;1)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\), tức là phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.

Mà hàm số đồng biến trên R nên điểm này là duy nhất.

Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất (đpcm).

Cách khác:

Hàm số \(f(x) = 3{x^5} + 15x - 8\) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).

Có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)  nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3{x^5} + 15x - 8} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^5}\left( {3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right)} \right] = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3{x^5} + 15x - 8} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^5}\left( {3 + \frac{{15}}{{{x^4}}} - \frac{8}{{{x^5}}}} \right)} \right] = + \infty
\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Từ bbt ta thấy đường thẳng y=0 luôn cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại duy nhất 1 điểm hay pt đã cho có nghiệm duy nhất.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài