Bài 1.76 trang 40 SBT giải tích 12


Giải bài 1.76 trang 40 sách bài tập giải tích 12. Xác định m để hàm số đơn điệu trên R...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(y =  - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)

LG a

Xác định \(m\) để hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R}\). Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y'\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' =  - 3({m^2} + 5m){x^2} + 12mx + 6\)

Hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y'\) không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

+) \({m^2} + 5m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 5\end{array} \right.\)

- Với \(m = 0\) thì \(y' = 6 > 0\) nên hàm số luôn đồng biến (thỏa mãn)

- Với \(m =  - 5\) thì \(y' =  - 60x + 6\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \(\dfrac{1}{{10}}\) nên hàm số không đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) (loại).

+) Với \({m^2} + 5m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne  - 5\end{array} \right.\).

Khi đó, \(y'\) không đổi dấu nếu \(\Delta ' = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m) \le 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 36{m^2} + 18{m^2} + 90m \le 0\\
\Leftrightarrow 54{m^2} + 90m \le 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 3{m^2} + 5m \le 0\)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{3} \le m \le 0\)

Kết hợp với \(m\ne 0\) ta được \( - \frac{5}{3} \le m < 0\)

Với \( - \frac{5}{3} \le m < 0\) thì \({m^2} + 5m < 0\) nên \( - 3({m^2} + 5m) > 0\)

Do đó \(y' > 0\) và hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Kết hợp với m = 0 ở trên ta được \( - \dfrac{5}{3} \le m \le 0\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

LG b

Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\)?

Phương pháp giải:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = {x_0}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Nếu hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) thì \(y'\left( 1 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 3{m^2} - 3m + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right.\)

Mặt khác, \(y'' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)

+) Với \(m = 1\;\) thì \(y'' =  - 36x + 12\). Khi đó, \(y''\left( 1 \right) =  - 24 < 0\), hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\).

+) Với \(m =  - 2\) thì \(y'' = 36x-24\). Khi đó, \(y''\left( 1 \right) = 12 > 0\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

Vậy với \(m = 1\;\) thì hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài