Bài 1.77 trang 40 SBT giải tích 12


Giải bài 1.77 trang 40 sách bài tập giải tích 12. Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số \(y = \dfrac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).

LG a

Xác định \(a\) để hàm số luôn luôn đồng biến.

Phương pháp giải:

- Xét trường hợp \(a = 1\), kiểm tra xem hàm số có luôn đồng biến hay không.

- Trường hợp \(a \ne 1\), hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2\).

+) Với \(a = 1,y' = 2x + 1\;\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \( - \dfrac{1}{2}\).

Hàm số không luôn luôn đồng biến.

+) Với \(a \ne 1\) thì với mọi \(x\) mà tại đó \(y' \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
{a^2} - \left( {a - 1} \right)\left( {3a - 2} \right) \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
{a^2} - 3{a^2} + 3a + 2a - 2 \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
- 2{a^2} + 5a - 2 \le 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow a \ge 2\)

(khi \(a = 2\) thì \(y' = 0\;\) chỉ tại \(x =  - 2\))

Vậy với \(a \ge 2\) hàm số luôn luôn đồng biến.

LG b

Xác định \(a\) để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng \(y = 0\).

- Tìm điều kiện để phương trình đó có ba nghiệm phân biệt và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(y = 0\) có ba nghiệm phân biệt. Ta có:

\(y = 0\)\(\Leftrightarrow  \dfrac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x=0\)

\( \Leftrightarrow x\left[ {\dfrac{{(a - 1){x^2}}}{3} + ax + 3a - 2} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left[ {(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left( {a - 1} \right){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

\(y = 0\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ne 0\\\Delta  > 0\\9a-6 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ne 0\\9{a^2} - 4(a - 1)(9a - 6) > 0\\9a - 6 \ne 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 1\\
9{a^2} - 4\left( {9{a^2} - 15a + 6} \right) > 0\\
9a \ne 6
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 1\\
- 27{a^2} + 60a - 24 > 0\\
a \ne \frac{2}{3}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 1\\\dfrac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9} < a < \dfrac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}\\a \ne \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(a \in \left( {\dfrac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9};\dfrac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}} \right)\backslash \left\{ {1;\dfrac{2}{3}} \right\}\).

LG c

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số ứng với \(a = \dfrac{3}{2}\).

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|\)

Phương pháp giải:

- Thay \(a = \dfrac{3}{2}\) vào được hàm số cần khảo sát.

- Khảo sát tóm tắt:

+ Tìm TXĐ.

+ Xét chiều biến thiên.

+ Vẽ đồ thị.

- Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\):

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần dưới qua trục hoành và xóa phần dưới cũ đi.

Lời giải chi tiết:

Khi \(a = \dfrac{3}{2}\) thì \(y = \dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x + \dfrac{5}{2}\);\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 5\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Ta có: 

\(y =\left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|\) \(= \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}\,neu\,\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2} \ge 0\\
- \left( {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right)\,neu\,\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2} < 0
\end{array} \right.\)

Từ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}\) ta suy ra ngay đồ thị hàm số \(y = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|\) như sau:

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài