Bài 1.81 trang 41 SBT giải tích 12


Giải bài 1.81 trang 41 sách bài tập giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số \(y = \dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số.

Phương pháp giải:

Khảo sát tóm tắt:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

- Vẽ đồ thị.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Có \(y' = \dfrac{{ - 9}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) và không có cực trị.

TCĐ: \(x = 2\) và TCN \(y = 3\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

LG b

Viết phương trình các đường thẳng đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\).

Phương pháp giải:

- Viết dạng phương trình tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) theo công thức \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

- Cho tiếp tuyến đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) tìm \({x_0}\), từ đó suy ra \({y_0}\) và viết phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 9}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\forall x \ne 2\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: \(y-{y_0} = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right)\)

Trong đó \(y'({x_0}) = \dfrac{{ - 9}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}\).

Khi đó \(y =  - \dfrac{9}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + \dfrac{{3({x_0} + 1)}}{{{x_0} - 2}} \)

Tiếp tuyến đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{9{x_0}}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}} + \dfrac{{3({x_0} + 1)}}{{{x_0} - 2}} = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{9{x_0} + 3\left( {{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} = 0\\
\Rightarrow 9{x_0} + 3\left( {{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 9{x_0} + 3\left( {x_0^2 - {x_0} - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 9{x_0} + 3x_0^2 - 3{x_0} - 6 = 0\\
\Leftrightarrow 3x_0^2 + 6{x_0} - 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1 - \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}\\
{x_0} = - 1 + \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

+) Tại \({M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y =  - \dfrac{3}{2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x\)

+) Tại \({M_1}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y =  - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )x\).

Chú ý:

Cách khác:

Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) có dạng \(y = kx\).

Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: \(y = \dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}\) và \(y = kx\), ta giải hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}} = kx\\ - \dfrac{9}{{{{(x - 2)}^2}}} = k\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}} + \dfrac{{9x}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 0\\ - \dfrac{9}{{{{(x - 2)}^2}}} = k\end{array} \right.\)

Giải phương trình thứ nhất ta được: \(x =  - 1 \pm \sqrt 3 \)

Thay vào phương trình thứ hai ta có: \({k_1} =  - \dfrac{3}{2}(2 + \sqrt 3 );{k_2} =  - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )\)

Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - \dfrac{3}{2}(2 + \sqrt 3 )x\) và \(y =  - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )x\)

LG c

Tìm tất cả các điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ là các số nguyên.

Phương pháp giải:

- Viết lại hàm số về dạng \(y = 3 + \dfrac{9}{{x - 2}}\).

- Từ điều kiện \(x,y \in \mathbb{Z}\), tìm \(x\) suy ra \(y\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \frac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}  = \frac{{3x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{3x - 6 + 9}}{{x - 2}}\) \( = \frac{{3x - 6}}{{x - 2}} + \frac{9}{{x - 2}}= 3 + \frac{9}{{x - 2}}\)

Để \(M(x,y) \in (C)\) có tọa độ nguyên thì  \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\\dfrac{9}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {x - 2} \right) \in U\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}\)

\( \Rightarrow x \in \left\{ {1;3; - 1;5; - 7;11} \right\}\).

Do đó, ta có \(6\) điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ nguyên là: \(\left( {1; - 6} \right),\left( {3;12} \right),\left( { - 1;0} \right),\) \(\left( {5;6} \right),\left( { - 7;2} \right),\left( {11;4} \right)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài