-
GIẢI TÍCH SBT - TOÁN 12
-
HÌNH HỌC SBT - TOÁN 12
Giải SBT toán hình học và giải tích 12 cơ bản
Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ ..
Bài 1.81 trang 41 SBT giải tích 12
Giải bài 1.81 trang 41 sách bài tập giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...
Cho hàm số \(y = \dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}\)
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số.
Phương pháp giải:
Khảo sát tóm tắt:
- Tìm TXĐ.
- Xét sự biến thiên.
- Vẽ đồ thị.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Có \(y' = \dfrac{{ - 9}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) và không có cực trị.
TCĐ: \(x = 2\) và TCN \(y = 3\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG b
Viết phương trình các đường thẳng đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\).
Phương pháp giải:
- Viết dạng phương trình tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) theo công thức \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).
- Cho tiếp tuyến đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) tìm \({x_0}\), từ đó suy ra \({y_0}\) và viết phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 9}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\forall x \ne 2\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: \(y-{y_0} = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right)\)
Trong đó \(y'({x_0}) = \dfrac{{ - 9}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}\).
Khi đó \(y = - \dfrac{9}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + \dfrac{{3({x_0} + 1)}}{{{x_0} - 2}} \)
Tiếp tuyến đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{9{x_0}}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}} + \dfrac{{3({x_0} + 1)}}{{{x_0} - 2}} = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{9{x_0} + 3\left( {{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} = 0\\
\Rightarrow 9{x_0} + 3\left( {{x_0} + 1} \right)\left( {{x_0} - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 9{x_0} + 3\left( {x_0^2 - {x_0} - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 9{x_0} + 3x_0^2 - 3{x_0} - 6 = 0\\
\Leftrightarrow 3x_0^2 + 6{x_0} - 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1 - \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}\\
{x_0} = - 1 + \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
+) Tại \({M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - \dfrac{3}{2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x\)
+) Tại \({M_1}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )x\).
Chú ý:
Cách khác:
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) có dạng \(y = kx\).
Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: \(y = \dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}\) và \(y = kx\), ta giải hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}} = kx\\ - \dfrac{9}{{{{(x - 2)}^2}}} = k\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}} + \dfrac{{9x}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 0\\ - \dfrac{9}{{{{(x - 2)}^2}}} = k\end{array} \right.\)
Giải phương trình thứ nhất ta được: \(x = - 1 \pm \sqrt 3 \)
Thay vào phương trình thứ hai ta có: \({k_1} = - \dfrac{3}{2}(2 + \sqrt 3 );{k_2} = - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )\)
Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: \(y = - \dfrac{3}{2}(2 + \sqrt 3 )x\) và \(y = - \dfrac{3}{2}(2 - \sqrt 3 )x\)
LG c
Tìm tất cả các điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ là các số nguyên.
Phương pháp giải:
- Viết lại hàm số về dạng \(y = 3 + \dfrac{9}{{x - 2}}\).
- Từ điều kiện \(x,y \in \mathbb{Z}\), tìm \(x\) suy ra \(y\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y = \frac{{3(x + 1)}}{{x - 2}} = \frac{{3x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{3x - 6 + 9}}{{x - 2}}\) \( = \frac{{3x - 6}}{{x - 2}} + \frac{9}{{x - 2}}= 3 + \frac{9}{{x - 2}}\)
Để \(M(x,y) \in (C)\) có tọa độ nguyên thì \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\\dfrac{9}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {x - 2} \right) \in U\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}\)
\( \Rightarrow x \in \left\{ {1;3; - 1;5; - 7;11} \right\}\).
Do đó, ta có \(6\) điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ nguyên là: \(\left( {1; - 6} \right),\left( {3;12} \right),\left( { - 1;0} \right),\) \(\left( {5;6} \right),\left( { - 7;2} \right),\left( {11;4} \right)\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 1.82 trang 41 SBT giải tích 12
- Bài 1.83 trang 41 SBT giải tích 12
- Bài 1.84 trang 41 SBT giải tích 12
- Bài 1.85 trang 41 SBT giải tích 12
- Bài 1.86 trang 41 SBT giải tích 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
