Bài 1.67 trang 38 SBT giải tích 12


Giải bài 1.67 trang 38 sách bài tập giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\).

a) Xét tính đơn điệu của hàm số.

b) Chứng minh rằng với mọi \(m\), tiệm cận ngang của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm  \(B\left( { - \dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

c) Biện luận theo \(m\) số giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

d) Vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|\)

LG a

Xét tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Biện luận theo \(m\) dấu của \(y'\), từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{{3m}}{2}} \right\}\)

\(y' = \dfrac{{ - 2x - 3m - 2(4 - x)}}{{{{(2x + 3m)}^2}}} = \dfrac{{ - 3m - 8}}{{{{(2x + 3m)}^2}}}\)

+) Nếu \(m <  - \dfrac{8}{3} \Rightarrow y' > 0\) suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng  \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{3m}}{2}} \right),\left( { - \dfrac{{3m}}{2}; + \infty } \right)\)

+) Nếu \(m >  - \dfrac{8}{3} \Rightarrow y' < 0\) suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{3m}}{2}} \right),\left( { - \dfrac{{3m}}{2}; + \infty } \right)\)

+) Nếu \(m =  - \dfrac{8}{3}\) thì \(y =  - \dfrac{1}{2}\) khi \(x \ne 4\) là hàm hằng.

LG b

Chứng minh rằng với mọi \(m\), tiệm cận ngang của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm  \(B\left( { - \dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

Phương pháp giải:

- Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Sử dụng định nghĩa: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\) thì \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{4}{x} - 1}}{{2 + \dfrac{{3m}}{x}}} =  - \dfrac{1}{2}\)

Nên với mọi \(m\), đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}\) là tiệm cận ngang và luôn đi qua \(B\left( { - \dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

LG c

Biện luận theo \(m\) số giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Biện luận số giao điểm dựa vào số nghiệm của phương trình vừa xét.

Lời giải chi tiết:

Số giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}} = x\)

Ta có: \(\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}} = x\) \( \Leftrightarrow 4 - x = 2{x^2} + 3mx\) với \(x \ne  - \dfrac{{3m}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + (3m + 1)x - 4 = 0\) với \(x \ne  - \dfrac{{3m}}{2}\)

Do \(x \ne  - \dfrac{{3m}}{2}\) nên \(x =  - \dfrac{{3m}}{2}\) không nghiệm đúng phương trình.

Hay \(2.{\left( { - \dfrac{{3m}}{2}} \right)^2} - \dfrac{{9{m^2}}}{2} - \dfrac{{3m}}{2} - 4\)\( = \dfrac{{9{m^2}}}{2} - \dfrac{{9{m^2}}}{2} - \dfrac{{3m}}{2} - 4 \ne 0\) \( \Rightarrow m \ne  - \dfrac{8}{3}\)

Như vậy, để \(x =  - \dfrac{{3m}}{2}\) không là nghiệm của phương trình  (*), ta phải có \(m \ne  - \dfrac{8}{3}\).

Ta có: \(\Delta  = {(3m + 1)^2} + 32 > 0,\forall m\).

Từ đó suy ra với \(m \ne  - \dfrac{8}{3}\) đường thẳng \(y = x\) luôn cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại hai điểm phân biệt.

LG d

Vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|\)

Phương pháp giải:

- Vẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}\).

- Vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|\) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục \(Ox\).

+ Lấy đối xứng phần dưới qua trục \(Ox\) và xóa phần dưới cũ đi.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}},khi\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}} \ge 0}\\{ - \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}},khi\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}} < 0}\end{array}} \right.\)

Trước hết, ta vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}\).

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}\).

Vì \(y' = \dfrac{{ - 11}}{{{{(2x + 3)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne  - \dfrac{3}{2}\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right);\left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên: 

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng \(x =  - \dfrac{3}{2}\), tiệm cận ngang \(y =  - \dfrac{1}{2}\).

Đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua các điểm \(\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right),(4;0)\).

Để vẽ đồ thị \(\left( {C'} \right)\) của hàm số \(y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|\), ta giữ nguyên phần đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài