Bài 1.61 trang 36 SBT giải tích 12


Giải bài 1.61 trang 36 sách bài tập giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số:  \(y =  - {x^3} + 3x + 1\)

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực.

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

+ Tìm cực trị (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

* Tập xác định:\(D = \mathbb{R}\),

* Chiều biến thiên:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \)

+) \(y' =  - 3{x^2} + 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x =  - 1}\end{array}} \right.\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 1),(1; + \infty )\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 3\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1,{y_{CT}} =  - 1\).

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

+) Có \(y'' =  - 6x\); \(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 1\) nên điểm uốn \(U\left( {0;1} \right)\).

+) Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\).

+) Vẽ đồ thị:

LG b

Chỉ ra phép biến hình biến \(\left( C \right)\) thành đồ thị \(\left( {C'} \right)\) của hàm số: \(y = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

Phương pháp giải:

Nhận xét dạng hàm số của \(\left( {C'} \right)\) so với \(\left( C \right)\), từ đó suy ra phép biến hình cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Tịnh tiến \(\left( C \right)\) song song với trục \(Ox\) sang trái \(1\) đơn vị, ta được đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) của hàm số \(y = f(x) =  - {(x + 1)^3} + 3(x + 1) + 1\) hay \(f(x) =  - {(x + 1)^3} + 3x + 4\) \(\left( {{C_1}} \right)\).

Lấy đối xứng \(\left( {{C_1}} \right)\) qua trục \(Ox\), ta được đồ thị \(\left( {C'} \right)\) của hàm số \(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

LG c

Dựa vào đồ thị \(\left( {C'} \right)\), biện luận theo \(m\) số nghiệm của phương trình: \({(x + 1)^3} = 3x + m\)

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình về dạng \({(x + 1)^3} - 3x - 4 = m - 4\).

- Từ đồ thị \(\left( {C'} \right)\) đã dựng và mối tương quan giữa số nghiệm của phương trình với tương giao đồ thị để biện luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({(x + 1)^3} = 3x + m\)\( \Leftrightarrow {(x + 1)^3} - 3x - 4 = m - 4\)

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đường \(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)  \(\left( {C'} \right)\;\) và\(y = m-4\)\(\left( {{d_1}} \right)\)

Từ đồ thị, ta suy ra:

+) Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m - 4 <  - 3\\m - 4 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\)  thì phương trình đã cho có một nghiệm.

+) Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m - 4 =  - 3\\m - 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\) phương trình đã cho có hai nghiệm.

+) Nếu\( - 3 < m - 4 < 1 \Leftrightarrow 1 < m < 5\), phương trình đã cho có ba nghiệm.

LG d

Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( d \right)\) của đồ thị \(\left( {C'} \right)\), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(y =  - \dfrac{x}{9} + 1\)

Phương pháp giải:

- Tìm hệ số góc \(k\) của \(d\), sử dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc nếu tích hai hệ số góc bằng \( - 1\).

- Giải phương trình \(y' = k\) tìm hoành độ tiếp điểm, suy ra tung độ.

- Viết phương trình tiếp tuyến tho công thức \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( d \right)\) vuông góc với đường thẳng  \(y =  - \dfrac{x}{9} + 1\) nên ta có hệ số góc bằng \(9\).

Ta có: \(g'(x) = 3{(x + 1)^2} - 3\)

\(g'(x) = 9 \Leftrightarrow 3{\left( {x + 1} \right)^2} - 3 = 9\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x =  - 3 \Rightarrow y =  - 3\end{array} \right.\)

+ Với \(x = 1,y = 1\) ta có tiếp tuyến: \(y = 9\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(y = 9x - 8\).

+ Với \(x =  - 3,y =  - 3\) ta có tiếp tuyến: \(y = 9\left( {x + 3} \right) - 3\) hay \(y = 9x + 24\).

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là: \(y = 9x - 8\) và \(y = 9x + 24\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài