Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Ôn tập Chương IV - Số phức

Dạng lượng giác của số phức


Dạng lượng giác của số phức

1. Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa Acgumen của số phức.

- Điểm \(M \ne O\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thì số đo mỗi góc lượng giác tia đầu là \(Ox\) và tia cuối \(OM\) được gọi là acgumen của số phức \(z\).

- Nếu \(\alpha \) là một acgumen của \(z\) thì \(\alpha  + k2\pi \) cũng là một acgumen của \(z\) với mỗi \(k \in Z\).

b) Khái niệm về dạng lượng giác của số phức

- Số phức \(z = a + bi\) là dạng đại số của \(z\).

- Số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\) là dạng lượng giác của \(z\), ở đó:

+ \(r\) là mô đun của số phức.

+ \(\varphi \) là acgumen của số phức.

c) Các phép toán với số phức dạng lượng giác:

Cho hai số phức \({z_1} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right),{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}{z_1} \pm {z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \pm {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = \left( {{r_1}\cos {\varphi _1} \pm {r_2}\cos {\varphi _2}} \right) + i\left( {{r_1}\sin {\varphi _1} \pm {r_2}\sin {\varphi _2}} \right)\\{z_1}.{z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right).{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\\\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\end{array}\)

d) Công thức Moivre:

Cho số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\). Khi đó:

\({z^n} = {\left[ {r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)} \right]^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi  + i\sin n\varphi } \right)\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác.

Cho số phức \(z = a + bi\), viết \(z\) dưới dạng \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

- Bước 2: Tính \(\varphi \) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \dfrac{a}{r}\\\sin \varphi  = \dfrac{b}{r}\end{array} \right.\)

Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức.

Phương pháp:

Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, công thức Moivre để tính giá trị và rút gọn các biểu thức.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua