Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học

Ôn tập Chương IV - Số phức

Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức

1. Kiến thức cần nhớ

- Mô đun của số phức $z = a + bi$ là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 0$

- Bất đẳng thức Cô-si: $x + y \ge 2\sqrt {xy}$ với $x,y > 0$

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: $\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ .

- Bước 2: Thay $z$ và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của $x,y$ .

- Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra $x,y \Rightarrow z$ .

Ví dụ: Cho ${z_1};{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3.$ Tính max $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.$

A. $8$

B. $10$

C. $4$

D. $\sqrt {10}$

Giải

Đặt ${z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.$ $({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in R)$ . Điều kiện đã cho trở thành

+) $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1$ $\Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i - {x_2} - {y_2}i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} = 1$

$\Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = 1$ (1)

+) $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right| = 3$

$\Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được ${x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5$

+) $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

$T = 1.\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + 1.\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \le \sqrt {\left( {1 + 1} \right).\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} \right)}$

$= \sqrt {2.5} = \sqrt {10} \Rightarrow$ $\max T = \sqrt {10} .$

Đáp án D

Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp

+) Đường thẳng

+) Đường tròn

+) Đường elip

+) Parabol

Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun

Số phức $z = x + yi(x,y \in R)$ có điểm biểu diễn là $M(x,y)$ . Mô đun của số phức $z$ là độ dài đoạn thẳng $OM$ với $O$ là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức $z = x + yi$ thỏa mãn $\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|$ đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính $N = {x^2} + {y^2}.$

A. $N = 8$

B. $N = 10$

C. $N = 16$

D. $N = 26$

Giải

Gọi $M(x,y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z = x + yi$

+) $\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|$ $\Rightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {x^2} + {(y - 2)^2} \Leftrightarrow - 4x + 4 - 8y + 16 = - 4y + 4$

$\Leftrightarrow 4x + 4y = 16 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0$

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của $z$ là một đường thẳng $x + y - 4 = 0$

+) $N = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2}$

$\Rightarrow N$ min $\Leftrightarrow \left| z \right|$ min $\Leftrightarrow OM$ min $\Rightarrow OM \bot d:x + y - 4 = 0$

$\Rightarrow M(2,2)$ $\Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8$

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

- Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2 - 4i} \right| = \sqrt 5 .$ Tìm max $\left| z \right|.$

A. $3\sqrt 5$

B. $5$

C. $\sqrt 5$

D. $\sqrt {13}$

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có: $\left| z \right| - \left| { - 2 - 4i} \right| \le \left| {z - 2 - 4i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| - \sqrt {20} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| z \right| \le \sqrt {20} + \sqrt 5 = 3\sqrt 5$

$\Rightarrow$ max $\left| z \right| = 3\sqrt 5$

Đáp án A.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.7 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Dạng lượng giác của số phức
Dạng lượng giác của số phức
Các dạng toán về điểm biểu diễn số phức
Các dạng toán về điểm biểu diễn số phức
Bài 6 trang 144 SGK Giải tích 12
Giải bài 6 trang 144 SGK Giải tích 12. Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?
Bài 5 trang 144 SGK Giải tích 12
Giải bài 5 trang 144 SGK Giải tích 12. Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng?
Bài 4 trang 144 SGK Giải tích 12
Giải bài 4 trang 144 SGK Giải tích 12. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?
Bài 3 trang 144 SGK Giải tích 12
Giải bài 3 trang 144 SGK Giải tích 12. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?
Bài 2 trang 144 SGK Giải tích 12
Giải bài 2 trang 144 SGK Giải tích 12. Số nào trong các số sau là số thuần ảo?
Bài 1 trang 144 SGK Giải tích 12
Giải bài 1 trang 144 SGK Giải tích 12. Số nào trong các số sau là số thực?
Bài 12 trang 144 SGK Giải tích 12
Cho hai số phức z1, z2. Biết rằng z1 + z2 và z1. z2 là hai số thực. Chứng minh rằng z1, z2 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Bài 11 trang 144 SGK Giải tích 12
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Bài 10 trang 144 SGK Giải tích 12
Giải bài 10 trang 144 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức
Bài 9 trang 144 SGK Giải tích 12
Giải bài 9 trang 144 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức
Bài 8 trang 143 SGK Giải tích 12
Thực hiện các phép tính sau:
Bài 7 trang 143 SGK Giải tích 12
Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo của z không vượt quá môdun của nó.
Bài 6 trang 143 SGK Giải tích 12
Giải bài 6 trang 143 SGK Giải tích 12. Tìm các số thực x, y sao cho:
Bài 5 trang 143 SGK Giải tích 12
Giải bài 5 trang 143 SGK Giải tích 12. Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
Bài 4 trang 143 SGK Giải tích 12
Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình a), b), c) sau:
Bài 3 trang 143 SGK Giải tích 12
Nêu định nghĩa số phức liên hợp của số phức z. Số phức nào bằng số phức liên hợp của nó?
Bài 2 trang 143 SGK Giải tích 12
Tìm mối liên hệ giữa khái niệm môdun và khái niệm giá trị tuyệt đối của một số thực.
Bài 1 trang 143 SGK Giải tích 12
Thế nào là phần thực, phần ảo, modun của số phức?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.