Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương III - Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 3.83 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Hãy tính tổng sau:

Đề bài

Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {{{2^n} - {5^n}} \over {{2^n} + {5^n}}},\) và số nguyên dương N. Hãy tính tổng sau:

                                     \({S_N} = {1 \over {{u_1} - 1}} + {1 \over {{u_2} - 1}} + .... + {1 \over {{u_N} - 1}}.\)

Lời giải chi tiết

Với mỗi \(n \ge 1,\) ta có

 \({1 \over {{u_n} - 1}} =  - {1 \over 2}\left( {{{{2^n}} \over {{5^n}}} + 1} \right)\)

Do đó: \({S_N} =  - {1 \over 2}\left( {{T_N} + N} \right),\) trong đó \({T_N} = {2 \over 5} + {{{2^2}} \over {{5^2}}} + ... + {{{2^N}} \over {{5^N}}}\)

Dễ thấy, \({T_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng \({2 \over 5}\) và công bội bằng \({2 \over 5}\). Vì thế

  \({T_N} = {2 \over 5} \times {{1 - {{\left( {{2 \over 5}} \right)}^N}} \over {1 - {2 \over 5}}} = {2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}}\)

Suy ra: 

\({S_N} =  - {1 \over 2}\left( {{2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}} + N} \right) \)\(= {{ - \left( {2 + 3N} \right){{.5}^N} + {2^{N + 1}}} \over {{{6.5}^N}}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store