Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương III - Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 3.83 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Hãy tính tổng sau:

Đề bài

Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {{{2^n} - {5^n}} \over {{2^n} + {5^n}}},\) và số nguyên dương N. Hãy tính tổng sau:

                                     \({S_N} = {1 \over {{u_1} - 1}} + {1 \over {{u_2} - 1}} + .... + {1 \over {{u_N} - 1}}.\)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

Với mỗi \(n \ge 1,\) ta có

 \({1 \over {{u_n} - 1}} =  - {1 \over 2}\left( {{{{2^n}} \over {{5^n}}} + 1} \right)\)

Do đó: \({S_N} =  - {1 \over 2}\left( {{T_N} + N} \right),\) trong đó \({T_N} = {2 \over 5} + {{{2^2}} \over {{5^2}}} + ... + {{{2^N}} \over {{5^N}}}\)

Dễ thấy, \({T_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng \({2 \over 5}\) và công bội bằng \({2 \over 5}\). Vì thế

  \({T_N} = {2 \over 5} \times {{1 - {{\left( {{2 \over 5}} \right)}^N}} \over {1 - {2 \over 5}}} = {2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}}\)

Suy ra: 

\({S_N} =  - {1 \over 2}\left( {{2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}} + N} \right) \)\(= {{ - \left( {2 + 3N} \right){{.5}^N} + {2^{N + 1}}} \over {{{6.5}^N}}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua