Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương III - Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 3.75 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi 

    \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1\) với mọi \(n \ge 1.\)

Xét dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\)

LG a

Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó

Lời giải chi tiết:

Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2n - 1\) với mọi \(n \ge 1.\)

Do đó

         \({v_n} = 2n - 1\,\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right).\)

Suy ra \({v_{n + 1}} - {v_n} = (2(n + 1) - 1) - (2n - 1) \)\(= 2\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, \(({v_n})\) là một cấp cộng với số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai bằng 2.

LG b

Cho số nguyên dương N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\) theo N. Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu \({S_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\). Từ kết quả phần a) , ta có

\({S_N} = {{N.\left( {2.1 + \left( {N - 1} \right).2} \right)} \over 2} = {N^2}\,\,\,\,(1)\)

Mặt khác, bằng cách tương tự như lời giải phần a) bài tập 3.76, ta chứng minh được

  \({S_n} = {u_{N + 1}} - {u_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall N \ge 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) , ta được : \({u_{N + 1}} - {u_1} = {N^2},\,\) hay \({u_{N + 1}} = {N^2} + {u_1} = {N^2} + 1\left( {\forall N \ge 1} \right).\,\) Từ đó, số hạng tổng quát của dẫy số \(({u_n})\) là : \({u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1 = {n^2} - 2n + 2\,.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store