Câu 3.74 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi 

             \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + n\) với mọi \(n \ge 1.\)

Xét dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_{n }} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\)

LG a

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N, tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\) bằng \({u_{N + 1}} - {u_1}.\)

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu \({S_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\). Ta sẽ chứng minh

    \({S_N} = {u_{N + 1}} - {u_1}\,\,\,\,\,(1)\)

Với mọi \(N \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(N = 1\) , ta có \({S_1} = {v_1} = {u_2} - {u_1}.\) Như vậy, (1) đúng khi \(N = 1.\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(N = k,k \in {N^ * },\) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(N = k + 1.\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp và định nghĩa dãy số \(({v_n})\) ta có

\({S_{k + 1}} = {S_k} + {v_{k + 1}} = \left( {{u_{k + 1}} - {u_1}} \right) \\+ \left( {{u_{k + 2}} - {u_{k + 1}}} \right)\, \)

\(= {u_{k + 2}} - {u_1}.\)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(N \ge 1.\)

LG b

Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Lời giải chi tiết:

Từ định nghĩa dãy số \(({v_n})\) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\), ta có \({v_n} = n\) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó \({v_{n + 1}} - {v_n} = \left( {n + 1} \right) - n\, = 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai bằng 1.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài