Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương III - Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 3.74 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi 

             \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + n\) với mọi \(n \ge 1.\)

Xét dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_{n }} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\)

LG a

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N, tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\) bằng \({u_{N + 1}} - {u_1}.\)

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu \({S_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\). Ta sẽ chứng minh

    \({S_N} = {u_{N + 1}} - {u_1}\,\,\,\,\,(1)\)

Với mọi \(N \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(N = 1\) , ta có \({S_1} = {v_1} = {u_2} - {u_1}.\) Như vậy, (1) đúng khi \(N = 1.\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(N = k,k \in {N^ * },\) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(N = k + 1.\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp và định nghĩa dãy số \(({v_n})\) ta có

\({S_{k + 1}} = {S_k} + {v_{k + 1}} = \left( {{u_{k + 1}} - {u_1}} \right) \\+ \left( {{u_{k + 2}} - {u_{k + 1}}} \right)\, \)

\(= {u_{k + 2}} - {u_1}.\)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(N \ge 1.\)

LG b

Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Lời giải chi tiết:

Từ định nghĩa dãy số \(({v_n})\) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\), ta có \({v_n} = n\) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó \({v_{n + 1}} - {v_n} = \left( {n + 1} \right) - n\, = 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai bằng 1.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store