Câu 3.73 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi  \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 2} \) với mọi \(n \ge 1.\)

LG a

Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\), mà \({v_n} = u_n^2\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Lời giải chi tiết:

Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(n \ge 1\)

 \(u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 2,\) hay \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2.\)

Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 = 1\) và công sai \(d = 2.\)

Quảng cáo
decumar

LG b

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

Lời giải chi tiết:

 Từ định nghĩa dãy số \(({u_n})\) và dãy số \(({v_n})\) dễ dàng suy ra \({u_n} > 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Từ đó, ta có \({u_n} = \sqrt {{v_n}} \) với mọi \(n \ge 1.\)

Từ kết quả phần a) suy ra : \({v_n} = 1 + \left({n - 1}\right).2 = 2n - 1\left( {\forall n \ge 1} \right).\) Vì thế

             \({u_n} = \sqrt {2n - 1} \,(\forall n \ge 1).\)

LG c

Tính tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2.\)

Lời giải chi tiết:

\(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2\)

       \( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{1001}} \)

       \(= {{1001.\left( {2.1 + \left( {1001 - 1} \right).2} \right)} \over 2} = 1002001.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.