Câu 3.73 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi  \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 2} \) với mọi \(n \ge 1.\)

LG a

Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\), mà \({v_n} = u_n^2\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Lời giải chi tiết:

Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(n \ge 1\)

 \(u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 2,\) hay \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2.\)

Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 = 1\) và công sai \(d = 2.\)

LG b

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

Lời giải chi tiết:

 Từ định nghĩa dãy số \(({u_n})\) và dãy số \(({v_n})\) dễ dàng suy ra \({u_n} > 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Từ đó, ta có \({u_n} = \sqrt {{v_n}} \) với mọi \(n \ge 1.\)

Từ kết quả phần a) suy ra : \({v_n} = 1 + \left({n - 1}\right).2 = 2n - 1\left( {\forall n \ge 1} \right).\) Vì thế

             \({u_n} = \sqrt {2n - 1} \,(\forall n \ge 1).\)

LG c

Tính tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2.\)

Lời giải chi tiết:

\(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2\)

       \( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{1001}} \)

       \(= {{1001.\left( {2.1 + \left( {1001 - 1} \right).2} \right)} \over 2} = 1002001.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.