Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương III - Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 3.72 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Trong mặt phẳng tọa độ

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol \(y = {x^2}\) lấy dãy các điểm \(({A_n})\) và \(({B_n})\) sao cho điểm \({A_1}\) có hoành độ dương và với mỗi số nguyên dương n, đường thẳng \({A_n}{B_n}\) có hệ số góc bằng \( - {1 \over 5}\) và đường thẳng \({B_n}{A_{n + 1}}\) có hệ số góc bằng \({1 \over 4}.\) (h.3.2).

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu \({a_n}\) và \({b_n}\) tương ứng với hoành độ của \({A_n}\) và \({B_n}\).

Chứng minh rằng các dãy số \(({a_n})\) và\(({b_n})\) là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.

Lời giải chi tiết

Với mỗi \(n \ge 1,\) do \({A_n}\) và \({B_n}\)  nằm trên parabol \(y = {x^2}\) nên  \({A_n} = \left( {{a_n};a_n^2} \right)\) và \({B_n} = \left( {{b_n};b_n^2} \right)\). Từ đó:

- Do đường thẳng \({A_n}{B_n}\) có hệ số góc bằng \(- {1 \over 5}\) nên \({a_n} + {b_n} =  - {1 \over 5}\) với mọi \(n \ge 1;\)

- Do đường thẳng \({B_n}{A_{n + 1}}\) có hệ số góc bằng \({1 \over 4}\) nên \({a_{n + 1}} + {b_n} = {1 \over 4}\) với mọi \(n \ge 1;\)

Suy ra với mọi \(n \ge 1,\) ta có

\({a_{n + 1}} - {a_n} = {9 \over {20}}\) và \({b_{n + 1}} - {b_n} =  - {9 \over {20}}.\)

Vì thế:

- Dãy số \(({a_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({a_1}\) và công sai \(d = {9 \over {20}};\)

- Dãy số \(({b_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({b_1} =  - {1 \over 5} - {a_1}\) và công sai \(d =  - {9 \over {20}}.\)

Số hạng tổng quát : \({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \times {9 \over {20}}\) và \({b_n} =  - {1 \over 5} - {a_1} - \left( {n - 1} \right) \times {9 \over {20}}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store