Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương III - Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 3.77 trang 98 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng \(({d_1})\) và \(({d_2})\) tương ứng với đồ thị của các hàm số \(y = 2x - 1\) và \(y = x.\)

Xây dựng dãy các điểm \(({A_n})\) nằm trên \(({d_1})\) và dãy các điểm \(({B_n})\) nằm trên \(({d_2})\) theo cách sau (h.3.3):

\( \bullet \) \({A_1}\) và \({B_1}\) tương ứng là giao điểm của đường thẳng \(x = {3 \over 2}\) với \(({d_1})\) và \(({d_2})\);

\( \bullet \)Với mỗi số nguyên \(n \ge 2,{B_n}\) là giao điểm \(({d_2})\) với đường thẳng đi qua \({A_{n - 1}}\) và song song với trục hoành, \({A_n}\) là giao điểm của điểm \(({d_1})\) với đường đi qua \({B_n}\) và song song với trục tung.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu \({u_n}\) là hoành độ của \({A_n}\) và \({h_n}\) là độ dài của đoạn thẳng \({A_n}{B_n}\).

LG a

Chứng minh rằng dãy số \(({h_n})\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Lời giải chi tiết:

Với mỗi  \(n \ge 1,\) kí hiệu \({a_n}\) và \({b_n}\) tương ứng với tung độ của điểm \({A_n}\) và điểm \({B_n}.\)  Khi đó :

- Do \({A_n}\) nằm trên \(\left( {{d_1}} \right)\) nên \({a_n} = 2{u_n} - 1.\)

- Do \({B_n}\) là giao điểm của \(\left( {{d_2}} \right)\) và đường thẳng đi qua \({A_n}\), song song với trục tung \({b_n} = {u_n}\). Suy ra với mọi \(n \ge 1.\)

 \({h_n} = {a_n} - {b_n} = \left( {2{u_n} - 1} \right) - {u_n} \)\(= {u_n} - 1\,\,(1)\)

Hơn nữa, với mỗi \(n \ge 1,\) do \({B_{n + 1}}\) nằm trên đường thẳng đi qua \({A_n}\) và song song với trục hoành nên \({b_{n + 1}} = {a_n} = 2{u_n} - 1\). Suy ra \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - 1\) với mỗi \(n \ge 1.\)

Từ đó ta được \({u_{n + 1}} - 1 = 2({u_n} - 1)\) với mọi \(n \ge 1,\) hay \({h_{n + 1}} = 2{h_n}\) với mọi \(n \ge 1\,\,\left( {theo\left( 1 \right)} \right).\) Vì thế, \(\left( {{h_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu

\({h_1} = {u_1} - 1 = {3 \over 2} - 1 = {1 \over 2}\) và công bội \(q = 2\)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

Dựa vào kết quả phần a), hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

Lời giải chi tiết:

 Ta có \({h_n} = {h_1}.{q^{n - 1}} = {1 \over 2} \times {2^{n - 1}} = {2^{n - 2}}\) với mọi \(n \ge 1.\) Suy ra

 \({u_n} = {h_n} + 1 = {2^{n - 2}} + 1\) với mọi \(n \ge 1.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua