Bài 1.27 trang 15 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.27 trang 15 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và cung là một phần tư đường tròn tâm A

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và cung BD là một phần tư đường tròn tâm A, bán kính AB chứa trong hình vuông (h.1.4). Tiếp tuyến tại M của cung BD cắt đoạn thẳng CD tại điểm P và cắt đoạn thẳng BC tại điểm Q. Đặt x = DP và y = BQ

LG a

Chứng minh rằng

\(P{Q^2} = {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2\) và \(PQ = x + y\)

Từ đó tính y theo x

Lời giải chi tiết:

Tam giác PCQ vuông tại C có \(PC = 1 - x,QC = 1 - y\) và vuông tại C nên theo Pitago ta có:

\(\begin{array}{l}P{Q^2} = P{C^2} + C{Q^2}\\ = {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2}\\ = 1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2}\\ = {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2\end{array}\)

Lại có,

BC, QP là tiếp tuyến với đường tròn \(\left( {A;AB} \right)\) cắt nhau tại Q nên \(QM = QB = y\)

DC, QP là tiếp tuyến với đường tròn \(\left( {A;AB} \right)\) cắt nhau tại P nên \(PM = PD = y\)

Vậy \(PQ = PM + MQ = x + y\).

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow P{Q^2} = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\\
\Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = {x^2} + 2xy + {y^2}\\
\Leftrightarrow 2xy + 2x + 2y - 2 = 0\\
\Leftrightarrow xy + x + y - 1 = 0\\
\Leftrightarrow y\left( {x + 1} \right) = 1 - x\\
\Leftrightarrow y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}
\end{array}\)

Vậy \(y = {{1 - x} \over {x + 1}},0 < x < 1\)

LG b

Tính PQ theo x và tìm x để PQ có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
PQ = x + y = x + \frac{{1 - x}}{{x + 1}}\\
= \frac{{{x^2} + x + 1 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}
\end{array}\)

Do đó, \(PQ = {{{x^2} + 1} \over {x + 1}},0 < x < 1\).

Xét hàm

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\\
f'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt 2 + 1 \notin \left( {0;1} \right)\\
x = \sqrt 2 - 1 \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó, đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất khi \(x = \sqrt 2  - 1\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.