Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 3: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Bài 1.27 trang 15 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.27 trang 15 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và cung là một phần tư đường tròn tâm A

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và cung BD là một phần tư đường tròn tâm A, bán kính AB chứa trong hình vuông (h.1.4). Tiếp tuyến tại M của cung BD cắt đoạn thẳng CD tại điểm P và cắt đoạn thẳng BC tại điểm Q. Đặt x = DP và y = BQ

LG a

Chứng minh rằng

\(P{Q^2} = {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2\) và \(PQ = x + y\)

Từ đó tính y theo x

Lời giải chi tiết:

Tam giác PCQ vuông tại C có \(PC = 1 - x,QC = 1 - y\) và vuông tại C nên theo Pitago ta có:

\(\begin{array}{l}P{Q^2} = P{C^2} + C{Q^2}\\ = {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2}\\ = 1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2}\\ = {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2\end{array}\)

Lại có,

BC, QP là tiếp tuyến với đường tròn \(\left( {A;AB} \right)\) cắt nhau tại Q nên \(QM = QB = y\)

DC, QP là tiếp tuyến với đường tròn \(\left( {A;AB} \right)\) cắt nhau tại P nên \(PM = PD = y\)

Vậy \(PQ = PM + MQ = x + y\).

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow P{Q^2} = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\\
\Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = {x^2} + 2xy + {y^2}\\
\Leftrightarrow 2xy + 2x + 2y - 2 = 0\\
\Leftrightarrow xy + x + y - 1 = 0\\
\Leftrightarrow y\left( {x + 1} \right) = 1 - x\\
\Leftrightarrow y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}
\end{array}\)

Vậy \(y = {{1 - x} \over {x + 1}},0 < x < 1\)

LG b

Tính PQ theo x và tìm x để PQ có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
PQ = x + y = x + \frac{{1 - x}}{{x + 1}}\\
= \frac{{{x^2} + x + 1 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}
\end{array}\)

Do đó, \(PQ = {{{x^2} + 1} \over {x + 1}},0 < x < 1\).

Xét hàm

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\\
f'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt 2 + 1 \notin \left( {0;1} \right)\\
x = \sqrt 2 - 1 \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó, đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất khi \(x = \sqrt 2  - 1\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store