Bài 1.24 trang 14 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Đề bài

Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi x, y là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 10 cm, 0 < x < 10 và 0 < y < 10.

Diện tích tam giác là \(S = {1 \over 2}xy(c{m^2})\)

Ta có \({x^2} + {y^2} = 100\)

S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({x^2}{y^2} = {x^2}(100 - {x^2})\) đạt giá trị lớn nhất.

Bài toán quy về: Tìm \(x \in \left( {0;10} \right)\) sao cho tại đó hàm số \(z = {x^2}(100 - {x^2}),x \in \left( {0;10} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

\(\begin{array}{l}
z' = 2x\left( {100 - {x^2}} \right) + {x^2}\left( { - 2x} \right)\\
= - 4{x^3} + 200x\\
z' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 200x = 0\\
\Leftrightarrow - 4x\left( {{x^2} - 50} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \notin \left( {0;10} \right)\\
x = 5\sqrt 2 \in \left( {0;10} \right)\\
x = - 5\sqrt 2 \notin \left( {0;10} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó hàm số đạt GTLN tại \(x = 5\sqrt 2\). Khi đó \( y = 5\sqrt 2 \).

Trong các tam giác vuông đó, tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất.

Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là \(x = y = 5\sqrt 2 \) (cm).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.