Bài 7 trang 91 SGK Hình học 12

Bình chọn:
4.4 trên 14 phiếu

Giải bài 7 trang 91 SGK Hình học 12. Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆

Đề bài

Cho điểm \(A(1 ; 0 ; 0)\) và đường thẳng \(∆\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).

a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(∆\).

b) Tìm tọa độ điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(∆\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng \(\Delta\) thì \(H \in \Delta\), tham số hóa tọa độ điểm H theo ẩn t.

\(\overrightarrow {AH}  \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {AH} .{\overrightarrow u _\Delta } = 0\), giải phương trình tìm t, từ đó suy ra tọa độ điểm H.

b) A' đối xứng với A qua đường thẳng d suy ra H là trung điểm của AA', với H là hình chiếu vuông góc của A trên \(\Delta\). Từ đó tìm tọa độ điểm A'.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng \(∆\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1 ; 2 ; 1)\). \(H ∈ ∆\) nên \(H(2 + t ; 1 + 2t ; t)\).

Điểm \(H ∈ ∆\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\) khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AH}\bot\)  \(\overrightarrow{u}\).

Ta có \(\overrightarrow{AH}(1+t ; 1 + 2t ; t)\) nên:

\(\overrightarrow{AH}\) ⊥ \(\overrightarrow{u}\)  ⇔ \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH}\) = 0.

                   ⇔ \(1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0\)

                   ⇔ \(6t + 3 = 0   ⇔ t =  -\frac{1}{2}\).

                   ⇔ \(H\left (\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2} \right )\).

b) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(∆\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\)  thì \(H\) là trung điểm của \(AA'\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2.\frac{3}{2} - 1 = 2\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2.0 - 0 = 0\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 0 = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {2;0; - 1} \right)\)

loigiaihay.com

 

                  

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu



Các bài liên quan