Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian

Giải bài 3 trang 90 SGK Hình học 12


Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

LG a

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\) và     d': \(\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;

Phương pháp giải:

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d'. Gọi \(\overrightarrow a ;\,\overrightarrow {a'} \) lần lượt là VTCP của d và d', \({M_1} \in d,\,\,{M_2} \in d'\).

Điều kiện để hai đường thẳng d và d' song song: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = k\overrightarrow {a'} \\M \in d,\,\,M \notin d'\end{array} \right.\,\).

Điều kiện để hai đường thẳng d và d' cắt nhau là \( \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right] \ne  \overrightarrow 0 \) và \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\).

Điều kiện để hai đường thẳng d và d' chéo nhau: \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  \ne 0\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M_1( -3 ; -2 ; 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}(2 ; 3 ; 4)\).

Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M_2( 5 ; -1 ; 20)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}(1 ; -4 ; 1)\).

Ta nhận thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\), \(\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}&\begin{array}{l}4\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4\\1\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {19;2; - 11} \right)\) ; \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (8 ; 1 ; 14) \)

Mà \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (19.8 + 2 - 11.14) = 0\) nên \(d\) và \(d'\) cắt nhau.

Cách khác:

Xét hệ phương trình:\(\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & (1)\\ -2+3t=-1-4t' & (2) \\ 6+4t=20+t'& (3) \end{matrix}\right.\)

Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có \(2t = 6 => t = 3\), thay vào (1) có \(t' = -2\).

Từ đó \(d\) và \(d'\) có điểm chung duy nhất \(M(3 ; 7 ; 18)\). Do đó d và d' cắt nhau tại M.

LG b

b) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) và     d':  \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\overrightarrow{u_{1}}(1 ; 1 ; -1)\) là vectơ chỉ phương của d và \(\overrightarrow{u_{2}}(2 ; 2 ; -2)\) là vectơ chỉ phương của d' .

Ta thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\) và \(\overrightarrow{u_{2}}\) cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M(1 ; 2 ; 3) ∈d\), thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình \(d'\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t'\\2 =  - 1 + 2t'\\3 = 2 - 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t' = \frac{3}{2}\\t' =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\left( {VN} \right)\)

Vậy \(M \notin d'\) nên \(d\) và \(d'\) song song.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 21 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua